大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問64 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)
問題文
以下（ コ／サ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
（ⅳ）点Aを通るCの接線のうち、直線y＝（ オ ）と異なる接線の傾きをk0とする。このとき、（ⅱ）または（ⅲ）の考え方を用いることにより
k0＝（ コ／サ ）
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は（ シ ）である。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
（ⅳ）点Aを通るCの接線のうち、直線y＝（ オ ）と異なる接線の傾きをk0とする。このとき、（ⅱ）または（ⅲ）の考え方を用いることにより
k0＝（ コ／サ ）
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は（ シ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問64（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ コ／サ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
（ⅳ）点Aを通るCの接線のうち、直線y＝（ オ ）と異なる接線の傾きをk0とする。このとき、（ⅱ）または（ⅲ）の考え方を用いることにより
k0＝（ コ／サ ）
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は（ シ ）である。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
（ⅳ）点Aを通るCの接線のうち、直線y＝（ オ ）と異なる接線の傾きをk0とする。このとき、（ⅱ）または（ⅲ）の考え方を用いることにより
k0＝（ コ／サ ）
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は（ シ ）である。
- 3／2
- 4／3
- 2／4
- 1／5
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この過去問の解説 （2件）
01
太郎さんの解法、花子さんの解法
どちらでも解けますが、今回は花子さんの方が
計算量が少なく、早く解けそうです。
◯太郎さんの考え方の場合
y=k(x+8)をx2＋y2－4x－10y＋4＝0に代入し、
（k2＋1）x2＋（16k2－10k－4）x＋64k2－80k＋4＝0が得られます。
これが重解を持てばいいので、判別式＝0を解いて、
※今回は(判別式)/4を用います。
（8k2－5k－2）2ー（k2＋1）（64k2－80k＋4）＝0
64k4+25k2+4-80k3+20k-32k2-(64k4－80k3＋4k2+64k2－80k＋4)=0
64k4-80k3-7k2+20k+4-(64k4－80k3＋68k2－80k＋4)=0
-75k2+100k=0
3k2-4k=0
k(3k-4)=0
k=0,4/3となりますが、
k＝0の場合は、y=0ですので、
k=4/3となります。
◯花子さんの考え方の場合
tanθ=1/2のとき、tan2θの値を求めれば良いので、
倍角の公式
tan2θ＝2tanθ/(1-tan2θ)を用いて、
tan2θ=4/3となります。
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02
図形と方程式の問題です。
慣れないうちは自分で座標と数式を書いてみましょう。
(ii)の考え方を用いる場合、（k2＋1）x2＋（16k2－10k－4）x＋64k2－80k＋4＝0の解は判別式を用いて、
（16k2－10k－4）2ー4（k2＋1）（64k2－80k＋4）＝0
（8k2－5k－2）2ー（k2＋1）（64k2－80k＋4）＝0
64k4+25k2+4-80k3-32k2+20k-(64k4－80k3＋4k2+64k2－80k＋4)=0
64k4-80k3-7k2+20k+4-(64k4－80k3＋68k2－80k＋4)=0
-75k2+100k=0
3k2-4k=0
k(3k-4)=0
k=4/3となります。
※(iii)の考え方を用いる場合、
k=tan2θ
=2tanθ/（1ーtan2θ）
=（2×1/2）/（1ー1/4）
=4/3となります。
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