共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問16 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問4)

与えられた2つの方程式は、p＝−6 なので

①　x²−6x＋q＝0
②　x²＋qx−6＝0

です。

n＝3になるには、2つの方程式の解を合わせたときに、異なる実数が3個になればよいです。

そのためには、主に次の2通りを考えます。

・2つの方程式が実数解を2個ずつもち、そのうち1個だけ共通

・どちらか一方が重解をもつ

①と②をともに満たす実数を α とします。
すると

α²−6α＋q＝0
α²＋qα−6＝0

が成り立ちます。

ここで、上の式から下の式を引くと

−6α＋q−qα＋6＝0

整理して

(q＋6)(1−α)=0

となります。

つまり、

q＝−6

または α＝1

です。

ただし q＝−6 のときは、①と②は同じ方程式になってしまいます。
その場合、解の個数はふつう2個までなので、n＝3にはなりません。

したがって、n＝3になるために共通解があるなら、共通解は1です。

そこで x＝1 を①に代入すると

1−6＋q＝0

より

q＝5

です。

このとき

①　x²−6x＋5＝0
②　x²＋5x−6＝0

となり、

①の解は 1，5
②の解は 1，−6

です。

合わせると、異なる実数解は

−6，1，5

の3個です。
したがって、q＝5 は条件を満たします。

①が重解をもつには、判別式が0になればよいです。

①の判別式は

(−6)²−4q＝36−4q

です。
これが0なので

36−4q＝0
q＝9

です。

このとき①は重解をもちます。
一方、②は

x²＋9x−6＝0

で、判別式は

9²−4×1×(−6)=81＋24=105

なので、異なる実数解を2個もちます。

さらに、①の重解は x＝3 で、②に代入すると

9＋27−6=30

となるので、共通解ではありません。

したがって、このとき解を合わせると
1個＋2個＝3個
になり、q＝9 も条件を満たします。

したがって、
n＝3となるqの値は5と9 です。

問題では （ウ）＜（エ） としているので、9が正解です。

不正解です。

不正解です。

正解です。

不正解です。