大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問20 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問8)

文意にあるように（α²－6α＋q）ー（α²＋qα－6）=0

すると

-(6+q)α+(6+q)=0

↔(6+q)(-α+1)=0

よってq=-6もしくはα=1のとき成立します。

(ⅰ)q=-6のとき

方程式①、②は同じ方程式になるためn≠3です。

（ⅱ）α=1のとき

α²－6α＋q＝0より

1²-6・1+q=0

↔q=5

このとき方程式①、②は以下のようになります。

x²-6x＋5＝0・・・①'↔（x-5）（x-1）=0↔x=1,5

x²＋5x-6＝0・・・②'↔（x+6）（x-1）=0↔x=-6,1

従ってn=3となることが分かります。

今回の花子さんたちの会話では、方程式①、②に共通解がある場合の話であったが、問１〔1〕(1)のように、片方の方程式が重解を持つ場合も考慮する必要があります。

（ⅲ）方程式①が重解を持つ場合

x²-6x＋q＝0

↔（x-3）²+q-9=0

↔q-9=0

↔q=9

このとき方程式②は

x²+9x-6=0

↔x=(-9±√105)/2

従ってn=3となることが分かります。

（ⅳ）方程式②が重解を持つ場合

x²+qx-6=0

定数項が負になるような重解は存在しないため、不適です。

従ってウ＜エより

q=5,9となります。

q=5及びq=9のとき図示すると

となりxについて範囲を記載すると下図のようになります。

従って

x∈Aならば∈B、x∈Bならば∈Aのどちらも偽であるため、必要条件でも十分条件でもない。

x∈Bならば∈Aバーは真だが、x∈Aバーならば∈Bは偽であるため、十分条件であるが、必要条件ではない。