共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問19 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問7)
問題文
以下（ キ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕p，qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
x2＋px＋q＝0・・・・・①
x2＋qx＋p＝0・・・・・②
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。
（2）p＝－6のとき、n＝3になる場合を考える。
花子：例えば、①と②をともに満たす実数xがあるときはn＝3になりそうだね。
太郎：それをαとしたら、α2－6α＋q＝0とα2＋qα－6＝0が成り立つよ。
花子：なるほど。それならば、α2を消去すれば、αの値が求められそうだね。
太郎：確かにαの値が求まるけど、実際にn＝3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子：これ以外にもn＝3となる場合がありそうだね。
n＝3となるqの値は
q＝（ ウ ），（ エ ）
である。ただし、（ ウ ）＜（ エ ）とする。
（4）（ ウ ）＜q＜（ エ ）とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合A，Bを
A＝｛x|x2－6x＋q＜0｝
B＝｛x|x2＋qx－6＜0｝
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき、次のことが成り立つ。
・x∈Aは、x∈Bであるための（ キ ）。
・x∈Bは、x∈Aであるための（ ク ）。
〔1〕p，qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
x2＋px＋q＝0・・・・・①
x2＋qx＋p＝0・・・・・②
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。
（2）p＝－6のとき、n＝3になる場合を考える。
花子：例えば、①と②をともに満たす実数xがあるときはn＝3になりそうだね。
太郎：それをαとしたら、α2－6α＋q＝0とα2＋qα－6＝0が成り立つよ。
花子：なるほど。それならば、α2を消去すれば、αの値が求められそうだね。
太郎：確かにαの値が求まるけど、実際にn＝3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子：これ以外にもn＝3となる場合がありそうだね。
n＝3となるqの値は
q＝（ ウ ），（ エ ）
である。ただし、（ ウ ）＜（ エ ）とする。
（4）（ ウ ）＜q＜（ エ ）とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合A，Bを
A＝｛x|x2－6x＋q＜0｝
B＝｛x|x2＋qx－6＜0｝
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき、次のことが成り立つ。
・x∈Aは、x∈Bであるための（ キ ）。
・x∈Bは、x∈Aであるための（ ク ）。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問19（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕p，qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
x2＋px＋q＝0・・・・・①
x2＋qx＋p＝0・・・・・②
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。
（2）p＝－6のとき、n＝3になる場合を考える。
花子：例えば、①と②をともに満たす実数xがあるときはn＝3になりそうだね。
太郎：それをαとしたら、α2－6α＋q＝0とα2＋qα－6＝0が成り立つよ。
花子：なるほど。それならば、α2を消去すれば、αの値が求められそうだね。
太郎：確かにαの値が求まるけど、実際にn＝3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子：これ以外にもn＝3となる場合がありそうだね。
n＝3となるqの値は
q＝（ ウ ），（ エ ）
である。ただし、（ ウ ）＜（ エ ）とする。
（4）（ ウ ）＜q＜（ エ ）とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合A，Bを
A＝｛x|x2－6x＋q＜0｝
B＝｛x|x2＋qx－6＜0｝
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき、次のことが成り立つ。
・x∈Aは、x∈Bであるための（ キ ）。
・x∈Bは、x∈Aであるための（ ク ）。
〔1〕p，qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
x2＋px＋q＝0・・・・・①
x2＋qx＋p＝0・・・・・②
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。
（2）p＝－6のとき、n＝3になる場合を考える。
花子：例えば、①と②をともに満たす実数xがあるときはn＝3になりそうだね。
太郎：それをαとしたら、α2－6α＋q＝0とα2＋qα－6＝0が成り立つよ。
花子：なるほど。それならば、α2を消去すれば、αの値が求められそうだね。
太郎：確かにαの値が求まるけど、実際にn＝3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子：これ以外にもn＝3となる場合がありそうだね。
n＝3となるqの値は
q＝（ ウ ），（ エ ）
である。ただし、（ ウ ）＜（ エ ）とする。
（4）（ ウ ）＜q＜（ エ ）とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合A，Bを
A＝｛x|x2－6x＋q＜0｝
B＝｛x|x2＋qx－6＜0｝
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき、次のことが成り立つ。
・x∈Aは、x∈Bであるための（ キ ）。
・x∈Bは、x∈Aであるための（ ク ）。
- 必要条件であるが、十分条件ではない
- 十分条件であるが、必要条件ではない
- 必要十分条件である
- 必要条件でも十分条件でもない
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この過去問の解説 （2件）
01
この問題では、前問までで、n＝3となるqの値は5と9と分かっていました。
したがって、今回は 5＜q＜9 のときを考えます。
まず、A＝{x｜x²－6x＋q＜0}を見ます。
方程式 x²－6x＋q＝0 の解は
x＝3±√(9－q)
です。
ここで 5＜q＜9 なので、
0＜9－q＜4
となり、
0＜√(9－q)＜2
です。
したがって、Aは
3－√(9－q)＜x＜3＋√(9－q)
です。
この区間の左端は 1より大きく、右端は 5より小さいので、
Aは1より右側にある区間です。
次に、B＝{x｜x²＋qx－6＜0}を見ます。
方程式 x²＋qx－6＝0 の解は
x＝(-q±√(q²+24))/2
です。
積が －6 なので、解は
・1つは負
・1つは正
です。
正の解を考えると、
q＝5 のときは 1、
q が5より大きくなると、その正の解は 1より小さくなります。
したがって、Bは
負の数＜x＜1より小さい正の数という区間になります。
つまり、Bは1より左側までの区間です。
よって、
・Aは1より右
・Bは1より左
なので、AとBは重ならないことが分かります。
したがって、
x∈A ⇒ x∈B は成り立たない
x∈B ⇒ x∈A も成り立たない
ので、必要条件でも十分条件でもないです。
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02
文意にあるように（α2－6α＋q）ー（α2＋qα－6）=0
すると
-(6+q)α+(6+q)=0
↔(6+q)(-α+1)=0
よってq=-6もしくはα=1のとき成立します。
(ⅰ)q=-6のとき
方程式①、②は同じ方程式になるためn≠3です。
（ⅱ）α=1のとき
α2－6α＋q＝0より
12-6・1+q=0
↔q=5
このとき方程式①、②は以下のようになります。
x2-6x＋5＝0・・・①'↔（x-5）（x-1）=0↔x=1,5
x2＋5x-6＝0・・・②'↔（x+6）（x-1）=0↔x=-6,1
従ってn=3となることが分かります。
今回の花子さんたちの会話では、方程式①、②に共通解がある場合の話であったが、問１〔1〕(1)のように、片方の方程式が重解を持つ場合も考慮する必要があります。
（ⅲ）方程式①が重解を持つ場合
x2-6x＋q＝0
↔（x-3）2+q-9=0
↔q-9=0
↔q=9
このとき方程式②は
x2+9x-6=0
↔x=(-9±√105)/2
従ってn=3となることが分かります。
（ⅳ）方程式②が重解を持つ場合
x2+qx-6=0
定数項が負になるような重解は存在しないため、不適です。
従ってウ＜エより
q=5,9となります。
q=5及びq=9のとき図示すると
となりxについて範囲を記載すると下図のようになります。
従って
x∈Aならば∈B、x∈Bならば∈Aのどちらも偽であるため、必要条件でも十分条件でもない。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
正解です。
必要条件・十分条件と集合の関係性について復習しておくことが大事です。
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