大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問31 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問3)

3人をそれぞれA,B,Cと表記し、それぞれが持ってきたプレゼントをa,b,cと表記することとします。

また、プレゼント交換をする前、つまりAがa、Bがb、Cがcを持っている状態を、(a,b,c)と表記することとします。

1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方 

　= 1回目の交換会後のプレゼントの受け取り方の総数 - 1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方

と考えます。

まず、1回目の交換会後のプレゼントの受け取り方の総数は、

Aがa,b,cのどれか1つを選び、続いてBが残った2つのどちらかを選び、余りをCが受け取ると考えると、

(Aの選択肢)×(Bの選択肢)×(Cの選択肢) = 3 ×2 × 1 = 6(通り)　になります。

続いて、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方を考えます。

最初にAがb,cのどちらか1つを選びます。

(1)Aがbを選んだ場合、プレゼントはaとcが残っています。

　 Cがcを受け取ることはできないので、必然的に(b,c,a)の1通りになります。

(2)Aがcを選んだ場合、プレゼントはaとbが残っています。

　 Bがbを受け取ることはできないので、必然的に(c,a,b)の1通りになります。

（つまり、Aがbかcのどちらかを受け取った時点で、BとCが勝手に決まる、すなわち選択肢が1つしかないことになります。）

よって、1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方は、

(Aの選択肢)×(Bの選択肢)×(Cの選択肢) = 2 ×1 × 1 = 2通りになります。