大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問77 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5)
問題文
以下（ オカ√キ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問77（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ オカ√キ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
- −2√1
- −2√2
- −3√1
- −3√2
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この過去問の解説 （3件）
01
3次関数y＝f（x）と直線y＝pが２個の共有点を持つ場合、共有点の1つは極値となります。
P=-4√2a3/2＋16のとき、3次関数y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点を持つ場合、グラフの概形より、1つは極小値と共有点を持つことになります。
（参考までに、前問で使用した増減表を解説一番下に載せておきます。）
よって、共有点のx座標 r=√(2a)= √2a1/2となります。
もう1つの共有点x=qは、f(x)=p つまり x3-6ax+16=p x3-6ax+16-p=0 を解くことで求めることができます。
この方程式の解は、x=q,r,r（rは重解）であるため、3次方程式の解と係数の関係より、q+r+r=0 q=-2r、
つまりq=-2√(2a)=-2√2a1/2となります。
＜グラフの概形＞
f(x)=x3-6ax+16の増減表
上記より、f(x)はx=-√( 2a)で極大値を取り、x=√( 2a)で極小値を取ることがわかります。
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02
f(x)が３次関数であり、y=f(x)とy=pが２個の共有点を持つことから、
共有点の１つは極値であることがわかります。
前問より、f(x)はx=±√（2a)のときに極値を持つ右肩上がりの関数なので、r((2a)1/2,p)が極値となります。
3次方程式の解と係数の関係から、
q+r+r=0
q=-2r
=-2(2a)1/2となります。
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03
微分・積分の問題です。
イメージしづらいときは、変数に０など、特徴的な数字を代入してみましょう。
3次関数が一定のyで２つの共有点を持つとき、一つの共有点は極値と等しくなります。
前問より、f(x)はx=±√（2a)のときに極値を持つ右肩上がりの関数なので、r(√(2a),p)が極値となります。
3次方程式の解と係数の関係から、
q+r+r=0
q=ー2r
=ー2√(2a)となります。
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