大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問6)
問題文
以下（ ク ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問78（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ク ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
〔1〕aを実数とし、f（x）＝x3－6ax＋16とおく。
（2）a＞Oとし、pを実数とする。座標平面上の曲線y＝f（x）と直線y＝pが3個の共有点をもつようなpの値の範囲は（ ウ ）＜p＜（ エ ）である。
p＝（ ウ ）のとき、曲線y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r（q＜r）とする。曲線y＝f（x）と直線y＝pが点（r，p）で接することに注意すると
q＝（ オカ√キ ）a1／2，r＝√（ ク ）a1／2
と表せる。
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この過去問の解説 （3件）
01
3次関数y＝f（x）と直線y＝pが２個の共有点を持つ場合、共有点の1つは極値となります。
P=-4√2a3/2＋16のとき、3次関数y＝f（x）と直線y＝pは2個の共有点を持つ場合、グラフの概形より、1つは極小値と共有点を持つことになります。
（参考までに、前問で使用した増減表を解説一番下に載せておきます。）
よって、共有点のx座標 r=√(2a)= √2a1/2となります。
＜グラフの概形＞
f(x)=x3-6ax+16の増減表
上記より、f(x)はx=-√( 2a)で極大値を取り、x=√( 2a)で極小値を取ることがわかります。
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02
a＞0のとき
f(x)=x3−6ax+16 の導関数は
f'(x)=3x2−6a=3(x2−2a)です。
したがって極値をとるのは x=±√(2a) です。
p＝（ウ）は「3個の共有点をもつ範囲」の端なので、直線y＝pは曲線に接する必要があります。
さらに問題文で q＜r なので、接している方は正のほう（極小点）で、
r=√(2a)=√2・a(1/2) です。
よって r=√(ク)a(1/2) と比べて √(ク)=√2 となり、（ク）=2です。
正解です。
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03
微分・積分の問題です。
イメージしづらいときは、変数に０など、特徴的な数字を代入してみましょう。
前問より、r＝√(2a)となります。
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