大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問79 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7)

a<0のとき、f（x）＝x³－6ax＋16はf'(x)=3x²-6a>0となり、単調増加します。

よって、a＜0のとき、f（x）とx軸との共有点の個数が1個（n=1）というのは正しいですが、共有点の個数が1個となる条件は、a<0以外にも存在します。

つまり、【n=1 ならば a＜0】は、正しくありません。

a<0のときf（x）＝x³－6ax＋16は単調増加するため、f（x）とx軸との共有点の個数は1個（n=1）となり、【a＜0 ならば n=1】は、正しいです。

f（x）＝x³－6ax＋16とx軸との共有点の個数が2個（n=2）となるためには、関数f（x）は極値を持つ必要があります。

a<0のときf（x）＝x³－6ax＋16は、単調増加するため、x軸との共有点は1個（n=1）となり、【n=2 ならば a＜0】は、正しくありません。

同様に、a<0のときf（x）＝x³－6ax＋16は単調増加するため、x軸との共有点の個数は1個（n=1）となり、【a＜0 ならば n=2】は、正しくありません。

f（x）＝x³－6ax＋16とx軸との共有点の個数が3個（n=3）となるためには、関数f（x）が極大値と極小値を持つ必要があります。

そのためには、f'(x)=3x²-6a=0が異なる2つの実数解を持つ必要があるため、a>0でなければならない。

よって、【n=3 ならば a＞0】は、正しいです。

しかし、a＞0のとき、関数 f(x)が極大値と極小値を持っても、f（x）とx軸との共有点の個数が3個とは限りません。

1個、2個の場合もあるため、【a＞0 ならば n=3】は、正しくありません。

n＝1（実数解が1つ）になるのはa＜0のときだけではありません。
たとえばa＝1（正）でも実数解は1つになります。

（この関数はa＝2より小さいと実数解が1つになります）

a＜0のとき
f(x)=x³−6ax＋16 の導関数は
f'(x)=3x²−6a です。
a＜0なら−6a＞0なので、f'(x)はどのxでも正になります。
つまりf(x)はずっと増加し、x軸と交わる点は1つだけなので、n＝1になります。

n＝2（異なる実数解が2つ）になるのは、グラフがx軸にちょうど接するときです。
これは山や谷が必要なのでa＞0が必要で、実際にはa＝2のときに起こります。

（a＜0では起こりません）
よって成り立ちません。

a＜0ならf(x)はずっと増加して、x軸と交わるのは1回だけです。
したがってn＝2にはなりません。

n＝3（異なる実数解が3つ）になるには、グラフがx軸を3回横切る必要があり、そのためには途中で増える→減る→増えるという形（山と谷）が必要です。
山と谷ができるには f'(x)=3x²−6a が0になる点が2つ必要で、これはa＞0のときに限られます。

a＞0でも、必ずn＝3になるわけではありません。
たとえばa＝1なら山と谷はできますが、谷がx軸より上にあるため、x軸と交わる点は1つだけになります。
よって成り立ちません。