大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問56 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)
問題文
〔1〕三角関数の値の大小関係について考えよう。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問56（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕三角関数の値の大小関係について考えよう。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
「cos(7/2)x＞O かつ sinx/2＞O」 ・・・・・④
または
「cos(7/2)x＜O かつ sinx/2＜O」 ・・・・・⑤
ここで0≦x≦πなので、
x/2の範囲は0≦x/2≦π/2となり、
sinx/2は負にはなることはないので
④の場合のみ考えます。
cos(7/2)x＞0を解きます。
ここで0≦x≦πなので、
(7/2)xの範囲は0≦(7/2)x≦(7/2)π
またcosが正になるのは、
以下の黄緑色の部分(境界線は含みません)で
0≦(7/2)x<π/2,(3/2)π<(7/2)x<(5/2)π
各辺に2/7をかけて
0≦x<π/7,(3/7)π<x<(5/7)π
sinx/2＞0を解きます。
ここで0≦x≦πなので、
x/2の範囲は0≦x/2≦π/2
またsinが正になるのは、
以下の黄色の部分(境界線は含みません)で
0<x/2≦π/2
各辺に2をかけて
0<x≦π
これらの共通部分を求めると、
0<x<π/7,(3/7)π<x<(5/7)π
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
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02
まず、α＋β＝4x、α−β＝3x より
α＝7x/2、β＝x/2 です。
よって
sin4x−sin3x＝2cos(7x/2)sin(x/2) となります。
したがって、sin4x−sin3x＞0 は
「cos(7x/2)＞0 かつ sin(x/2)＞0」または
「cos(7x/2)＜0 かつ sin(x/2)＜0」
と同値です。
0≦x≦π では sin(x/2)≥0 で、0＜x≦π では sin(x/2)＞0 です。
よって 0＜x≦π の範囲では cos(7x/2)＞0 を満たす x を求めればよく、
t＝7x/2 とおくと 0＜t≦7π/2。
cos t＞0 は 「0<t<π/2」または「3π/2<t<2π」なので、
tを戻して0<x<π/7、3π/7<x<5π/7
この解答は導出の手順・計算結果ともに正しく、論理的に正しいです。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
三角関数の合成について確認しておきましょう
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