大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問58 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問10)
問題文
〔1〕三角関数の値の大小関係について考えよう。
（2）sinxとsin2xの値の大小関係を詳しく調べよう。
sin2x−sinx＝sinx（［ ウ ］cosx−［ エ ］）
であるから、sin2x−sinx＞Oが成り立つことは
「sinx＞0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＞0」 ・・・・・①
または
「sinx＜0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＜0」 ・・・・・②
が成り立つことと同値である。0≦x≦2πのとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。よって、0≦x≦2πのとき、sin2x＞sinxが成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）、
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（4）（2）、（3）の考察から、0≦x≦πのとき、sin3x＞sin4x＞sin2xが成り立つようなxの値の範囲は
π／（ コ ）＜x＜π／（ ソ ）、（［ ス ］／［ セ ］）π＜x＜（［ タ ］／［ チ ］）π
であることがわかる。
（ ソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（2）sinxとsin2xの値の大小関係を詳しく調べよう。
sin2x−sinx＝sinx（［ ウ ］cosx−［ エ ］）
であるから、sin2x−sinx＞Oが成り立つことは
「sinx＞0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＞0」 ・・・・・①
または
「sinx＜0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＜0」 ・・・・・②
が成り立つことと同値である。0≦x≦2πのとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。よって、0≦x≦2πのとき、sin2x＞sinxが成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）、
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（4）（2）、（3）の考察から、0≦x≦πのとき、sin3x＞sin4x＞sin2xが成り立つようなxの値の範囲は
π／（ コ ）＜x＜π／（ ソ ）、（［ ス ］／［ セ ］）π＜x＜（［ タ ］／［ チ ］）π
であることがわかる。
（ ソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問58（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕三角関数の値の大小関係について考えよう。
（2）sinxとsin2xの値の大小関係を詳しく調べよう。
sin2x−sinx＝sinx（［ ウ ］cosx−［ エ ］）
であるから、sin2x−sinx＞Oが成り立つことは
「sinx＞0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＞0」 ・・・・・①
または
「sinx＜0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＜0」 ・・・・・②
が成り立つことと同値である。0≦x≦2πのとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。よって、0≦x≦2πのとき、sin2x＞sinxが成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）、
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（4）（2）、（3）の考察から、0≦x≦πのとき、sin3x＞sin4x＞sin2xが成り立つようなxの値の範囲は
π／（ コ ）＜x＜π／（ ソ ）、（［ ス ］／［ セ ］）π＜x＜（［ タ ］／［ チ ］）π
であることがわかる。
（ ソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（2）sinxとsin2xの値の大小関係を詳しく調べよう。
sin2x−sinx＝sinx（［ ウ ］cosx−［ エ ］）
であるから、sin2x−sinx＞Oが成り立つことは
「sinx＞0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＞0」 ・・・・・①
または
「sinx＜0 かつ （ ウ ）cosx−（ エ ）＜0」 ・・・・・②
が成り立つことと同値である。0≦x≦2πのとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。よって、0≦x≦2πのとき、sin2x＞sinxが成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（ オ ）、
π＜x＜（［ カ ］／［ キ ］）π
である。
（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ ・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（ ク ）＞O かつ sin（ ケ ）＞O」 ・・・・・④
または
「cos（ ク ）＜O かつ sin（ ケ ）＜O」 ・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は
O＜x＜π／（ コ ）、
（［ サ ］／［ シ ］）π＜x＜（［ ス ］／［ セ ］）π
である。
（4）（2）、（3）の考察から、0≦x≦πのとき、sin3x＞sin4x＞sin2xが成り立つようなxの値の範囲は
π／（ コ ）＜x＜π／（ ソ ）、（［ ス ］／［ セ ］）π＜x＜（［ タ ］／［ チ ］）π
であることがわかる。
（ ソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- 5
- 6
- 7
- 8
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
sin3x＞sin4x＞sin2xを
2つの連立不等式
sin3x＞sin4x
sin4x＞sin2x
として考えます。
(3)より
0≦x≦πのとき
sin4x>sin3xが成り立つのは
0<x<π/7,(3/7)π<x<(5/7)πのときなので
sin3x＞sin4xが成り立つのは
π/7<x<(3/7)π,(5/7)π<x<π
(2)より
0≦x≦2πのとき
sin2x>sinxが成り立つのは
0<x<π/3,π<x<(5/3)πのときなので
xを2xと置き換えると
0≦2x≦2πのとき
sin4x>sin2xが成り立つのは
0<2x<π/3,π<2x<(5/3)πのとき
と変換できます。
よって
0≦x≦πのとき
sin4x>sin2xが成り立つのは
0<x<π/6,π<x<(5/6)π
これらの共通部分を求めると、
π/7<x<π/6,(5/7)π<x<(5/6)π
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
（2）より
0≦x≦2π で sin2x＞sinx は0＜x＜π/3 と π＜x＜5π/3。
「sin4x＞sin2x」はこれに x→2x を入れて
0 < x < π/6 , π/2 < x < 5π/6
（3）よりsin4x＞sin3x の範囲（0≦x≦π）
0 < x < π/7 , 3π/7 < x < 5π/7
sin3x＞sin4x の範囲（0≦x≦π）
π/7 < x < 3π/7 , 5π/7 < x < π
以上より
（4）sin3x＞sin4x＞sin2x の範囲（0≦x≦π）
π/7 < x < π/6 , 5π/7 < x < 5π/6
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の手順・計算結果ともに正しく、論理的に正しいです。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
三角関数の合成について確認しておきましょう
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問57）へ
令和5年度（2023年度）本試験 問題一覧
次の問題（問59）へ