大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問97 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7)
問題文
（ キ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
＜方針2＞
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10✕1.01万円になり、3年目の初めには10✕1.012万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10✕1.01n−1万円になる。
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
＜方針2＞
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10✕1.01万円になり、3年目の初めには10✕1.012万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10✕1.01n−1万円になる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問97（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（ キ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
＜方針2＞
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10✕1.01万円になり、3年目の初めには10✕1.012万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10✕1.01n−1万円になる。
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
＜方針2＞
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10✕1.01万円になり、3年目の初めには10✕1.012万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10✕1.01n−1万円になる。
- n＋1
- n
- n−1
- n−2
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この過去問の解説 （3件）
01
前問と同様に考えます。
2年目の初めに入金したp万円は、3年目の初めにはp✕1.01万円になり、4年目の初めにはp✕1.012万円になります。
同様に考えるとn年目の初めにはp✕1.01n−2万円になります。
正解の選択肢です。
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02
前問まででは、預金の増え方を
a(n+1)=1.01an+p
と表せることを確認しました。
また、方針2では、もともとの10万円や、各年の初めに入金したp万円が、n年目の初めにいくらになっているかを1つずつ考えています。
その中で、
1年目の初めに入金したp万円 → n年目の初めには p×1.01(n−1)
2年目の初めに入金したp万円 → n年目の初めには p×1.01(キ)
となるので、今回はこの（キ）を求めます。
これが当てはまります。
2年目の初めに入金したp万円は、
2年目の終わりに1回
3年目の終わりに1回
…
(n−1)年目の終わりに1回
のように増えます。
回数を数えると、2,3,…,n−1で合計n−2回です。
よって、n年目の初めには
p×1.01(n−2)
万円になります。
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03
2年目の初めに入金したp万円は、
2年目の終わりにはp×1.01万円
3年目の終わりにはp×1.012万円
4年目の終わりにはp×1.013万円
・・・
n-1年目の終わりにはp×1.01n-2万円
となります。
よって、
n年目の初めにはp×1.01n-2万円となります。
正解です。
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