大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問99 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問9)

1年目の初めに入金したp万円のn年目の初めの預金は、もともと預金口座にあった10万円のn年目の初めの預金と同様に考えることができます。

1年目の初めに入金したp万円は、2年目の初めにはp✕1.01万円になり、3年目の初めにはp✕1.01²万円になります。

同様に考えるとn年目の初めにはp✕1.01ⁿ⁻¹万円になります。

 

2年目の初めに入金したp万円は、3年目の初めにはp✕1.01万円になり、4年目の初めにはp✕1.01²万円になります。

同様に考えるとn年目の初めにはp✕1.01ⁿ⁻²万円になります。

 

n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままになります。

上記より、a_nは次のように表すことができます。

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×1.01^n-1+p×1.01^n-2+・・・+p

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^n-1+1.01^n-2+・・・+1)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^n-1+1.01^n-2+・・・+1.01⁰)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^1-1+・・・+1.01^(n-1)-1+1.01^n-1)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×∑ⁿ_k=11.01^k-1

前問よりa_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×∑ⁿ_k=11.01^k-1と表すことができます。

∑ⁿ_k=11.01^k-1は等比数列の和の公式∑ⁿ_k=1r^k-1=(1-rⁿ)/(1-r)を使って求めることができます。

∑ⁿ_k=11.01^k-1=(1-1.01ⁿ)/(1-1.01)

                     =(1-1.01ⁿ)/(-0.01)

                     =(1-1.01ⁿ)×(-100)

                     =100(1.01ⁿ-1)

前問までで、次のことを確認しました。

1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めには
p×1.01⁽ⁿ⁻¹⁾ 万円

2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めには
p×1.01⁽ⁿ⁻²⁾ 万円

…

n年目の初めに入金したp万円は、そのまま
p 万円

 

したがって、

a_n=10×1.01⁽ⁿ⁻¹⁾+p×1.01⁽ⁿ⁻¹⁾+p×1.01⁽ⁿ⁻²⁾+…+p

となります。
これを和の記号でまとめると、

a_n=10×1.01⁽ⁿ⁻¹⁾+pΣ[k=1→n]1.01^(k−1)

です。

今回は、この

Σ[k=1→n]1.01^(k−1)

が何になるかを求める問題です。