大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問7 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7)

sin²θ+cos²θ＝1ですので、
(√15/4)²+cos²ABC=1
15/16+cos²ABC=1
cos²ABC=±1/4

正弦定理の公式によると、AC/sinABC=AB/sinACBとなります。
AC/√15/4=AB/√15/8となるので、これを計算すると、
AC=2ABとなります。

問題より、sin∠ABC＝√15/4、sin∠ACB＝√15/8…①

（1）より、cos²∠ABC＝1/4, -1/4　…②

（i）より、AC＝2AB, BC＝1　…③

余弦定理から、　AC²＝AB²+BC²-2AB・BC・cos∠ABC　

（2AB）²＝AB²+1-2AB・1・cos∠ABC　②より

3AB²-1＝-2AB・cos∠ABC　…④

△ABCの面積をSとしたとき、

S＝1/2・CA・CB・sin∠ACB　

S＝CA・√15/16

S>0、CA>0ですから、CAの長さが大きいほど△ABCの面積も大きくなります。

よって、より面積が大きい△ABCにおける∠ABCは鈍角です。

∠ABCが鈍角のとき、cos∠ABC < 0

（1）よりcos∠ABC＝-1/4

④にcos∠ABC＝-1/4を代入して

3AB²-1/2AB-1＝0

6AB²-AB-2＝0

（3AB-2）（2AB+1）＝0

AB＝2/3, -1/2

AB>0のため、-1/2は適していません。よってAB＝2/3

したがって、答えは（セ）＝2, （ソ）＝3 です。

上記の計算結果より、数値が適当ですので正解です。