大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問7 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7)
問題文
（ セ ）・（ ソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（2）sin∠ABC＝√15／4、sin∠ACB＝√15／8であるとする。
（ⅰ）このとき、AC＝（ ス ）ABである。
（ⅱ）この条件を満たす三角形は二つあり、その中で面積が大きい方の△ABCにおいては、AB＝（ セ ）／（ ソ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（2）sin∠ABC＝√15／4、sin∠ACB＝√15／8であるとする。
（ⅰ）このとき、AC＝（ ス ）ABである。
（ⅱ）この条件を満たす三角形は二つあり、その中で面積が大きい方の△ABCにおいては、AB＝（ セ ）／（ ソ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問7（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（ セ ）・（ ソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（2）sin∠ABC＝√15／4、sin∠ACB＝√15／8であるとする。
（ⅰ）このとき、AC＝（ ス ）ABである。
（ⅱ）この条件を満たす三角形は二つあり、その中で面積が大きい方の△ABCにおいては、AB＝（ セ ）／（ ソ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（2）sin∠ABC＝√15／4、sin∠ACB＝√15／8であるとする。
（ⅰ）このとき、AC＝（ ス ）ABである。
（ⅱ）この条件を満たす三角形は二つあり、その中で面積が大きい方の△ABCにおいては、AB＝（ セ ）／（ ソ ）である。
- セ：1 ソ：2
- セ：3 ソ：2
- セ：2 ソ：3
- セ：4 ソ：5
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この過去問の解説 （1件）
01
余弦定理により、AC2=AB2+BC2-2AB・AC・cosABC
AC=2AB、BC=1なので、
(2AB)2=AB2+12-2AB・2AB・cosABC
3AB2-1=-2AB・cosABC…①
AC>ABですので、ACが最大となります。
このとき、△ABCの面積が最大になるとき、∠ABCが鈍角となります。
したがってcosABC=-1/4
①に代入をすると、
3AB2-1=-2AB・(-1/4)
3AB2-1/2AB-1=0
6AB2-AB-2=0
(3AB-2)(2AB+1)=0
AB=-1/2、2/3
ABは辺の長さであり、負の値になることはありません。
したがってAB=2/3
よって、セ:2 ソ:3
上記の計算結果より、数値が適当ですので正解です。
∠ABCが鋭角か鈍角かによって面積が変わります。作図を行い確認しましょう。
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