大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問14)

信頼区間を求める問題ですね。

 

…（中略）…

 

殆どの人にとっては以下の知識と公式を用いるのが最適でしょう。

 

母標準偏差をσ（X），標本平均をX-，標本の大きさをnとする。

このとき母平均m_xの信頼区間は

（X-）-z・σ（X）/√n≦m_x≦（X-）+z・σ/√n

ただし、信頼区間95％のときz＝1.96

 

 

今回はY-＝2.95であったときの、m_yの信頼度95%の信頼区間を求めましょう。

しかしこの問題、わざわざ計算する必要はありません。

 

信頼区間を求める公式に必要な値は母標準偏差σ（Y）, 標本平均Y-, 標本の大きさnでしたね。

（ス）よりσ(Y)＝σ(X）＝√55/8

Y-＝2.95

n＝100

 

すべて同じ値を示していますから、計算結果は前回と同じになります。

スの回答

分散・標準偏差についての復習です。

元の変量に対して、

	分散	標準偏差
b加える	変わらない	変わらない
a倍する	a2倍になる	|a|倍になる

の関係が成り立ちます。

 

Zは元の変量Xに-1倍して５を加えているので、

σ（Z)=|-1|σ(X)

      =σ(X)

 

よって、

σ(Y)=σ(X)

ツテの回答

母標準偏差をσ、標本平均をX^-、

標本の大きさをnとすると、

母平均mの信頼区間の式は、

X^--z₀・σ/√n≦m≦X^-+z₀・σ/√n

 

z₀は今回信頼度が95％なので、

正規分布表で0.475になるz₀を探します。

よって、z₀=1.96

 

また、

母標準偏差σ=√55/8

標本平均X^-=2.95

大きさn=100

なので、

求める信頼区間は

2.95-1.96×√55/8/√100≦m_x≦2.95+1.96×√55/8/√100

2.95-1.96×7.4/8/10≦m_x≦2.95+1.96×7.4/8/10

2.95-1.96×7.4/80≦m_x≦2.95+1.96×7.4/80

2.95-0.1813≦m_x≦2.95+0.1813

2.7687≦m_x≦3.1313

となります。

よって、

2.769≦m_x≦3.131

Xのときと同様にYの信頼区間を求めます。

スの回答よりσ(Y)=σ(X)なので、

母標準偏差は√55/8となります。

また、

標本平均2.95・大きさ100も同じなので

信頼区間の計算は前問の式と同じになります。

よって、

2.769≦m_Y≦3.131

この解説ではYバーをY_と書きます

復習
母標準偏差をσ，標本平均をY_，標本の大きさをn、信頼度を95％とするとき、母平均の信頼区間を求める式は

X_-z₀σ/√n≦m≦X_+z₀σ/√n

で与えられる。
(本問では正規分布表よりz₀=1.96)

復習を参考にしながら、信頼区間を求めていきます。
σ（Y）＝σ（X）だったことから、各値を代入すれば、

2.95-1.96×(7.4/8)/√100≦m_X≦2.95+1.96×(7.4/8)/√100

となり、計算すると、

2.769≦m_Y≦3.131

となり、ナに入るのは3.131であることがわかります。