共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問108 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問10)
問題文
（ チツ ）・（ テ ）・（ トナ ）にあてはまるものを1つ選べ。
数列の増減について考える。与えられた数列｛pn｝の増減について次のように定める。
・すべての自然数nについてpn＜pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに増加するという。
・すべての自然数nについてpn＞pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに減少するという。
・pk＜pk＋1となる自然数kがあり、さらにpl＞pl＋1となる自然数lもあるとき、数列｛pn｝は増加することも減少することもあるという。
数列の増減について考える。与えられた数列｛pn｝の増減について次のように定める。
・すべての自然数nについてpn＜pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに増加するという。
・すべての自然数nについてpn＞pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに減少するという。
・pk＜pk＋1となる自然数kがあり、さらにpl＞pl＋1となる自然数lもあるとき、数列｛pn｝は増加することも減少することもあるという。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問108（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
（ チツ ）・（ テ ）・（ トナ ）にあてはまるものを1つ選べ。
数列の増減について考える。与えられた数列｛pn｝の増減について次のように定める。
・すべての自然数nについてpn＜pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに増加するという。
・すべての自然数nについてpn＞pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに減少するという。
・pk＜pk＋1となる自然数kがあり、さらにpl＞pl＋1となる自然数lもあるとき、数列｛pn｝は増加することも減少することもあるという。
数列の増減について考える。与えられた数列｛pn｝の増減について次のように定める。
・すべての自然数nについてpn＜pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに増加するという。
・すべての自然数nについてpn＞pn＋1となるとき、数列｛pn｝はつねに減少するという。
・pk＜pk＋1となる自然数kがあり、さらにpl＞pl＋1となる自然数lもあるとき、数列｛pn｝は増加することも減少することもあるという。
- チツ：10 テ：2 トナ：10
- チツ：20 テ：3 トナ：20
- チツ：30 テ：4 トナ：30
- チツ：40 テ：5 トナ：40
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この過去問の解説 （2件）
01
特性方程式を用いて漸化式を解く問題です。
【特性方程式とは】
an+1＝pan+q という漸化式に対して，αについての方程式 α=pα+q のことを指します。漸化式を an+1−α＝p(an−α) と変形することができます。
高校生のうちは、原理について無理に理解しようとする必要はありません。知識として覚えましょう。
（セソ）（タ）より、 dn+1＝1/3・dn+1/30…①
漸化式①の特性方程式は
α ＝1/3α+1/30
2/3α＝1/30
α ＝1/20
dn+1−1/20＝1/3(dn−1/20)
よって、数列 {dn−1/20} は公比1/3の等比数列です。
等比数列の公式 an＝a1・rn-1 （rは公比）
（コサ）よりd1＝1/10 ですから、d1-1/20＝1/20
よって dn-1/20＝1/20・（1/3）n-1
dn＝1/20・（1/3）n-1+1/20
したがって、答えは （チツ）＝20（テ）＝3（トナ）＝20 です。
特性方程式を用いる問題は頻出です。知識を覚えているかどうかで得点を左右するので、必ず覚えておいてください。
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02
特性方程式を解いて漸化式を
と変形します。d1=1/10だったので、
となります。
したがって
チツに入るのは20
テに入るのは 3
トナに入るのは20
となります。
チツに入るのは20
テに入るのは 3
トナに入るのは20
より誤
チツに入るのは20
テに入るのは 3
トナに入るのは20
より正
チツに入るのは20
テに入るのは 3
トナに入るのは20
より誤
チツに入るのは20
テに入るのは 3
トナに入るのは20
より誤
特性方程式を用いる漸化式の問題は最もよく出される問題です。
必ず解けるようにしておきましょう。
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