共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10)

〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 三角比の表（リンク） を用いてもよい。
水平な地面（以下、地面）に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと太陽高度を利用して求めよう。

図1のように、電柱の影の先端は坂の斜面（以下、坂）にあるとする。また、坂には傾斜を表す道路標識が設置されていて、そこには7％と表示されているとする。
電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面であるとし、地面と坂が交わってできる直線をlとする。
電柱の先端を点Aとし、根もとを点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を線分BCとし、坂にある部分を線分CDとする。線分BC、CDがそれぞれlと垂直であるとき、電柱の影は坂に向かってまっすぐにのびているということにする。

電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびているとする。このとき、4点A、B、C、Dを通る平面はlと垂直である。その平面において、図2のように、直線ADと直線BCの交点をPとすると、太陽高度とは∠APBの大きさのことである。

道路標識の7％という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の傾斜角∠DCPの大きさについて

n°＜∠DCP＜n°＋1°

を満たすnの値は（　シ　）である。
以下では、∠DCPの大きさは、ちょうど（　シ　）°であるとする。

ある日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べたところBC＝7m、CD＝4mであり、太陽高度は∠APB＝45°であった。点Dから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をEとするとき

BE＝（　ス　）✕（　セ　）m

であり

DE＝（［　ソ　］＋［　タ　］✕［　チ　］）m

である。よって、電柱の高さは、小数第2位で四捨五入すると（　ツ　）mであることがわかる。

別の日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたときの太陽高度は∠APB＝42°であった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の長さの変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さは

CD＝（AB−［　テ　］✕［　ト　］）／（［　ナ　］＋［　ニ　］✕［　ト　］）　m

である。AB＝（　ツ　）mとして、これを計算することにより、この日の電柱の影について、坂にある部分の長さは、前回調べた4mより約1.2mだけ長いことがわかる。

（　テ　）、（　ト　）、（　ナ　）、（　ニ　）にあてはまるものを1つ選べ。