共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問28 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問2)
問題文
1辺の長さが1である正方形のタイルが6枚ある。これらのタイルを1枚ずつ互いに重ならないように、1辺の長さが4である正方形の壁に貼っていくことを考える。ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする。また、新しく貼るタイルの位置の候補が全部でn箇所あるとき、そのうちのどの位置についてもタイルを貼る確率は1／nであるものとする。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（1）2枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAとなる確率は（ ア ）／（ イ ）である。
（2）3枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のBとなる確率は
（［ ア ］／［ イ ］）✕（［ ウ ］／［ エ ］）＝（ オ ）／（ カ ）である。
また、3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のCとなる確率は（ キ ）／（ ク ）である。
（ ウ ）、（ エ ）、（ オ ）、（ カ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（1）2枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAとなる確率は（ ア ）／（ イ ）である。
（2）3枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のBとなる確率は
（［ ア ］／［ イ ］）✕（［ ウ ］／［ エ ］）＝（ オ ）／（ カ ）である。
また、3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のCとなる確率は（ キ ）／（ ク ）である。
（ ウ ）、（ エ ）、（ オ ）、（ カ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問28（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
1辺の長さが1である正方形のタイルが6枚ある。これらのタイルを1枚ずつ互いに重ならないように、1辺の長さが4である正方形の壁に貼っていくことを考える。ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする。また、新しく貼るタイルの位置の候補が全部でn箇所あるとき、そのうちのどの位置についてもタイルを貼る確率は1／nであるものとする。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（1）2枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAとなる確率は（ ア ）／（ イ ）である。
（2）3枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のBとなる確率は
（［ ア ］／［ イ ］）✕（［ ウ ］／［ エ ］）＝（ オ ）／（ カ ）である。
また、3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のCとなる確率は（ キ ）／（ ク ）である。
（ ウ ）、（ エ ）、（ オ ）、（ カ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（1）2枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAとなる確率は（ ア ）／（ イ ）である。
（2）3枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のBとなる確率は
（［ ア ］／［ イ ］）✕（［ ウ ］／［ エ ］）＝（ オ ）／（ カ ）である。
また、3枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のCとなる確率は（ キ ）／（ ク ）である。
（ ウ ）、（ エ ）、（ オ ）、（ カ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- ウ：1 エ：2 オ：1 カ：4
- ウ：2 エ：3 オ：1 カ：6
- ウ：1 エ：4 オ：3 カ：4
- ウ：2 エ：5 オ：3 カ：8
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この過去問の解説 （2件）
01
「図1」にもある通り、Bの配置に至るにはAの配置の右に新しい「タイル」を配置する場合です。
「ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする」という問題文の条件に注意します。
「壁の縁」との隙間があってはいけないので、
Aの配置からBの配置に新しくタイルを置く場合の数は 2 通りです。
（「ただし、…」の問題文の条件がなければ「3通り」あります。）
よって、Aから新しく「タイル」を配置するそれぞれの確率は問題文から 1/2 です。
前問（ア）（イ）からAの配置に至る確率が 1/2 と求まっているので、
本設問は (1/2)・(1/2) = 1/4 の確率を答える事になります。
ウ：1 エ：2 オ：1 カ：4 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
前問（ア）（イ）
「ただし、…」の問題文の条件を見落とさない事が重要です。
しかし選択肢を見ると（ウ）（エ）に 1/3 となる組み合わせがない事から、
もし最初に「ただし、…」の問題文の条件を見落としてしまっていても、本設問で気付ける可能性は高いと思われます。
本設問において、上記解説では次の部分が重要です。
そのため、Aの状態から新しく「タイル」を配置する方法は、
「図1」にもある通り、BまたはCの状態になる2通りしかない事になり、
AからBになる確率は1/2となります。
最初の状態からAに至る確率が1/2なので、
それらを掛けて確率 1/4 を得る事になります。
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02
解答 ウ：1 エ：2 オ：1 カ：4
解説
Bとなる確率を求める問題です。
まず前問で扱った通り、
2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAとなる確率は1／2です。
つまり［ ア ］／［ イ ］に当てはまるのは1／2です。
Aの状態から3枚目のタイルを貼る候補は2箇所なので、
Aを経由したという条件のもとでBになる条件付き確率は1／2となります。
つまり［ ウ ］／［ エ ］に当てはまるのは1／2です。
確率の乗法定理より、
（［ ア ］／［ イ ］）✕（［ ウ ］／［ エ ］）＝（ オ ）／（ カ ）
に当てはまる計算は
(1／2)✕(1／2)=(1／4)
ということになります。Bとなる確率は1／4です。
よって答えは「ウ：1 エ：2 オ：1 カ：4」となります。
この選択肢が答えとなります。
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