共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問10)

設問（サ）の考察により、
X + Y を7進法で表したときの「1桁め」の値は 6 になります。
s = 6 です。

「6」の選択肢が設問（セ）の解答となります。
 

設問（サ）（太字の箇所を特に本設問で使います。）

設問（ク）（ケ）および前問（コ）の結果を使い、
def₍₇₎ を10進法で表すと、
{(a - c) -1}・7² + 6・7 + 7 + (c - a) であり、
Y = fed₍₇₎ を10進法で表すと、
{7 + (c - a)}・7² + 6・7 + (a - c) -1

それらを足し合わせると、
6・7² +12・7 +6
= (6 + 1)7² +5・7 + 6
= 7³ + 5・7 + 6
これを7進法で表すと、
1056₍₇₎

 

これが pqrs₍₇₎ に等しいので、p = 1 です。

設問（コ）

前問（ク）（ケ）の結果より、
X = (a - c)・7² + (c - a)

本設問の問題文の式への変形を考えると、
X=  (a - c - 1)・7² + 7・7 + (c - a)
= (a - c - 1)・7² + 6・7 + 7 + (c - a)

 

本設問は、
X= (（ク）- 1)・7² +（コ）・7 + 7 +（ケ）の形で答えるので、
「6」の選択肢が設問（コ）の解答となります。

設問（ク）（ケ）

X = M - N = abc₍₇₎ - cba₍₇₎ を10進数で表すと、
X =(a・7² - c・7²) + (b・7 - b・7) + (c - a)

= (a - c)・7² + (c - a) です。

 

ク：a - c　ケ：c - a　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

解答　セ：6

解説

X＝def_（7）つまり　 X=d・7²+e・7¹+f・7⁰=d・7²+e・7+f

Y=fed_（7）　　つまり　Y=f・7²+e・7¹+d・7⁰=f・7²+e・7+d

したがって

X+Y=(d・7²+e・7+f)+(f・7²+e・7+d)=(d+f)・7²+2e・7+(d+f)

となります。

前問までで　ク:a−c　ケ:c−a　コ:6　を得ました。つまり

d＝a−c−1、e＝6、f＝7＋c−a

となります。これをX+Yに代入して、

X+Y

=(d+f)・7²+2e・7+(d+f)

=6・7²+12・7+6

=6・7²+(7+5)・7+6　(※)

=6・7²+7²+5・7+6

=7・7²+5・7+6

=7³+5・7+6

=1・7³+0・7²+5・7¹+6・7⁰

したがって　X＋Y＝1056_（7）

つまり　p=1、q=0、r=5、s=6　となります。

よって答えは「セ：6」となります。

なお、もし(※)以降の変形が思いつけなければ、

X+Y=384

と計算して、これを7進数に変換してもよいでしょう。

補足

以下は「ク:a−c　ケ:c−a　コ:6」の解説になります（前問より引用）。

M=abc_（7）　　つまり　　M=a・7²+b・7¹+c・7⁰=a・7²+b・7+c

N=cba_（7）　　つまり　　N=c・7²+b・7¹+a・7⁰=c・7²+b・7+a

したがって

X＝M−N=(a・7²+b・7+c)−(c・7²+b・7+a)=(a-c)・7²+(c-a)

X=(a-c-1)・7²+7²+(c-a)=(a-c-1)・7²+6・7²+7+(c-a)

X=(a-c-1)・7²+6・7²+7+(c-a)

下線部が左から順にク・コ・ケとなります。