共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問47 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問2)

直線BCと垂直になる直線を考えます。
線分BQと線分CRは外心Oを通り、点B、C、Q、Rは外接円の円周上の点なので、△ABCの外接円の直径となります。

半円の弧に対する円周角は90°なので、∠CBRと∠BCQは90°になります。

上記より、直線BCは直線BR、CQとそれぞれ垂直になります。

また、問題文より点HはΔABCの垂心です。

垂心は、三角形の各頂点から大変またはその延長に下ろした垂線の交点です。

よって、直線AHは直線BCの垂線となります。

解答　イ：CQ

解説

問題設定にしたがってA、B、C、D、E、H、O、P、Q、Rを描くと、

以下の図のようになります。

（内心Iはこの問題では使わないので省略しています）

直線BCに垂直な直線は、

・直線AH(=直線AD)　（垂心の定義から）

・直線BR　（CRが直径だから角CBRが直角）

・直線CQ　（BQが直径だから角BCQが直角）

です。

よって答えは「イ：CQ」となります。

外心の性質からAP,BQ,CRが円Oの直径であることがわかればすぐに答えがわかるはずです。