大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問90 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問7)
問題文
以下（ ケ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんと花子さんは、「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられる質問を考えている。質問数は一つで、確率pで「はい」の回答が得られ、確率1−pで「いいえ」の回答が得られるものとする。この質問を、三人からなるグループの一人ひとりに別々に示し、そのうち一人だけが「はい」と回答する確率を考えたい。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんと花子さんは、「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられる質問を考えている。質問数は一つで、確率pで「はい」の回答が得られ、確率1−pで「いいえ」の回答が得られるものとする。この質問を、三人からなるグループの一人ひとりに別々に示し、そのうち一人だけが「はい」と回答する確率を考えたい。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問90（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんと花子さんは、「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられる質問を考えている。質問数は一つで、確率pで「はい」の回答が得られ、確率1−pで「いいえ」の回答が得られるものとする。この質問を、三人からなるグループの一人ひとりに別々に示し、そのうち一人だけが「はい」と回答する確率を考えたい。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんと花子さんは、「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられる質問を考えている。質問数は一つで、確率pで「はい」の回答が得られ、確率1−pで「いいえ」の回答が得られるものとする。この質問を、三人からなるグループの一人ひとりに別々に示し、そのうち一人だけが「はい」と回答する確率を考えたい。
- 0.58≦p≦0.73
- 0.59≦p≦0.71
- 0.61≦p≦0.70
- 0.61≦p≦0.76
- 0.63≦p≦0.74
- 0.64≦p≦0.75
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この過去問の解説 （1件）
01
反復試行の確率となるので
となります。
f(1/3)を解くと
f(1/3)=4/9
となります。
題意より
f(p)-2/9=0
と
(p-エ/オ)(9p2-12p+1)=0
が等しくなります。
ここで
f(p)-2/9=0
↔3p(1-p)2-2/9=0
ここで、p3項は3倍されていることから、定数項2/9も同様に3倍したらいいことが分かります。
従って(p-2/3)(9p2-12p+1)=0
100組のグループで３人中1人だけが「はい」と回答するグループの数を確率変数Xで表すと
二項分布B（100,q）で表現できます。
前問同様に、B(3,p)となります。
期待値はnpなので
3pとなります。
題意より、母標準偏差の代わりに標本標準偏差を用いていいことから
1.96-1.96×0.9/√100≦3p≦1.96+1.96×0.9/√100
これをpの区間として計算すると
0.59≦p≦0.71
となります。
正解です。
信頼区間の定義や、分布図の見方や書き方を復習しておくことが大切です。
区間と分布がイメージできていたほうが理解が深まります。
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