共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問90 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問7)

標本の比率の推定を用いて考えます。

95％の信頼区間は

母標準偏差をσ，標本平均をY^‾，標本の大きさをnとすると、母平均のm信頼区間を求める式は
Y^‾-1.96・0.9/√n≦m≦Y^‾+1.96・0.9/√n

となります。
 

この問題では

σ=0.9

Y^‾=1.96

n=100

m=3p

となります。

これらを上記の式に代入します。

1.96-1.96・0.9/√100≦3p≦1.96+1.96・0.9/√100
 

これを計算すると
 

0.59≦p≦0.71
になります。

反復試行の確率となるので

となります。

f(1/3)を解くと

f(1/3)=4/9

となります。

題意より

f(p)-2/9=0

と

(p-エ/オ)(9p²-12p+1)=0

が等しくなります。

ここで

f(p)-2/9=0

↔3p(1-p)²-2/9=0

ここで、p³項は3倍されていることから、定数項2/9も同様に3倍したらいいことが分かります。

従って(p-2/3)(9p²-12p+1)=0

100組のグループで３人中1人だけが「はい」と回答するグループの数を確率変数Xで表すと

二項分布B（100,q）で表現できます。

前問同様に、B(3,p)となります。

期待値はnpなので

3pとなります。

題意より、母標準偏差の代わりに標本標準偏差を用いていいことから

1.96-1.96×0.9/√100≦3p≦1.96+1.96×0.9/√100

これをpの区間として計算すると

0.59≦p≦0.71

となります。