大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問1 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問1)
問題文
〔1〕a，bを実数とする。
xについての方程式
（2a＋4b−2）x2＋（5a＋11）x−b−8＝0 ・・・・・①
を考える。
（1）a＝1とする。
bに着目すると、①の左辺は
（4x2−1）b＋16x−8 ・・・・・②
と表せる。
よって、②を因数分解すると
（2x−1）（［ ア ］bx＋b＋［ イ ］）
となる。
したがって、x＝1／2は①の解の一つであることがわかる。
（2）b＝2とする。
（ⅰ）①の左辺を因数分解すると
（［ ウ ］x＋［ エ ］）｛（a＋［ オ ］）x−［ カ ］｝
となる。
（ⅱ）a＝2√2のとき、①の解は
x＝−（［ エ ］／［ ウ ］），（ キ ）−（ ク ）√2
となる。
（ⅲ）a＝−（ オ ）であることは、①の解がx＝−（［ エ ］／［ ウ ］）だけであるための（ ケ ）。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
xについての方程式
（2a＋4b−2）x2＋（5a＋11）x−b−8＝0 ・・・・・①
を考える。
（1）a＝1とする。
bに着目すると、①の左辺は
（4x2−1）b＋16x−8 ・・・・・②
と表せる。
よって、②を因数分解すると
（2x−1）（［ ア ］bx＋b＋［ イ ］）
となる。
したがって、x＝1／2は①の解の一つであることがわかる。
（2）b＝2とする。
（ⅰ）①の左辺を因数分解すると
（［ ウ ］x＋［ エ ］）｛（a＋［ オ ］）x−［ カ ］｝
となる。
（ⅱ）a＝2√2のとき、①の解は
x＝−（［ エ ］／［ ウ ］），（ キ ）−（ ク ）√2
となる。
（ⅲ）a＝−（ オ ）であることは、①の解がx＝−（［ エ ］／［ ウ ］）だけであるための（ ケ ）。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問1（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕a，bを実数とする。
xについての方程式
（2a＋4b−2）x2＋（5a＋11）x−b−8＝0 ・・・・・①
を考える。
（1）a＝1とする。
bに着目すると、①の左辺は
（4x2−1）b＋16x−8 ・・・・・②
と表せる。
よって、②を因数分解すると
（2x−1）（［ ア ］bx＋b＋［ イ ］）
となる。
したがって、x＝1／2は①の解の一つであることがわかる。
（2）b＝2とする。
（ⅰ）①の左辺を因数分解すると
（［ ウ ］x＋［ エ ］）｛（a＋［ オ ］）x−［ カ ］｝
となる。
（ⅱ）a＝2√2のとき、①の解は
x＝−（［ エ ］／［ ウ ］），（ キ ）−（ ク ）√2
となる。
（ⅲ）a＝−（ オ ）であることは、①の解がx＝−（［ エ ］／［ ウ ］）だけであるための（ ケ ）。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
xについての方程式
（2a＋4b−2）x2＋（5a＋11）x−b−8＝0 ・・・・・①
を考える。
（1）a＝1とする。
bに着目すると、①の左辺は
（4x2−1）b＋16x−8 ・・・・・②
と表せる。
よって、②を因数分解すると
（2x−1）（［ ア ］bx＋b＋［ イ ］）
となる。
したがって、x＝1／2は①の解の一つであることがわかる。
（2）b＝2とする。
（ⅰ）①の左辺を因数分解すると
（［ ウ ］x＋［ エ ］）｛（a＋［ オ ］）x−［ カ ］｝
となる。
（ⅱ）a＝2√2のとき、①の解は
x＝−（［ エ ］／［ ウ ］），（ キ ）−（ ク ）√2
となる。
（ⅲ）a＝−（ オ ）であることは、①の解がx＝−（［ エ ］／［ ウ ］）だけであるための（ ケ ）。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- ア：1 イ：8
- ア：2 イ：8
- ア：2 イ：3
- ア：4 イ：3
- ア：5 イ：3
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この過去問の解説 （2件）
01
因数分解の問題です。因数分解の方法は主に「共通因数でまとめる→最低次数の文字で整理する」です。
この方法で処理できない場合は因数定理、１の三乗根の活用、係数比較、複2次式においては二乗ー二乗の形を作るなどがあります。
共通テストは穴埋めという形式上係数比較が有効になる場合が多々あります。
この問題ではすでにbについての1次式となっています。
共通因数を探すためにbの係数と定数項を積の形にしていく方針を取るのが簡潔です。
（4x2−1）b＋16xー8＝（2xー1）（2x＋1）＋8（2xー1）
＝（2xー1）{（2x−1）b＋8}＝（2xー1）（2bx＋b＋8）
正しい
（4x2−1）b＋16xー8＝（2xー1）（2x＋1）＋8（2xー1）
＝（2xー1）{（2x−1）b＋8}＝（2xー1）（2bx＋b＋8）
であることから ア：2 イ：8
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02
解答：ア：2、イ：8
解説：
②式を変形すると以下のようになります。
（4x2-1）b+16x-8
=（2x+1）（2x-1）b+8（2x-1）
=（2x-1）{（2x+1）b+8}
=（2x-1）（2bx+b+8）
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