共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問4 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問4)

xについての方程式
（2a＋4b−2）x²＋（5a＋11）x−b−8＝0・・・・・①

問題よりb=２を①に代入します。

(2a+8-2)x²＋(5a+11)x-2-8=0

2ax²+6x²+5ax+11x-10=0

(2x²+5x)a+6x²+11-10=0

ax(2x+5)+(2x+5)(3x-2)=0

(2x+5)(ax+3x-2)=0

x=-5/2,2/(a+3)

となります。

ここでa=-3を

(2x+5)(ax+3x-2)=0

に代入すると

(2x+5)(-3x+3x-2)=0

-4x-10=0

x=-5/2

となります。

よって

「a=-3であれば①の解がx=-5/2だけである」

という命題は真となります。

また(2x+5)(ax+3x-2)=0

の解x=-5/2,2/(a+3)

をそれぞれ等号で結んで計算をすると

-5/2=2/(a+3)

-5(a+3)=4

-5a-15=4

-5a=19

a=-19/5となります。

よって

「①の解がx=-5/2だけであればa=-3である」

という命題はa=-19/5が反例となるので偽となります。

これらをまとめると

a=-3であることは、①の解がx=-5/2だけであるための

十分条件であるが、必要条件でありません。

解答：十分条件であるが、必要条件ではない

解説：

a=-3のとき、

（2x+5）{（-3+3）x-2}=0

⇔-2（2x+5）=0

⇔x=-5/2

よって、十分条件は満たしています。

また、x≠-3のときの解はx=-5/2,2/（a+3）

2/（a+3）=-5/2

⇔a=-19/5

よって、x=-5/2となるのは、a=-3,-19/5のときです。

したがって、十分条件であるが、必要条件ではないです。