共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問12 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問12)
問題文
〔2〕図1のように、直線l上の点Aにおいてlに接する半径2の円を円Oとし、l上の点Bにおいてlに接する半径4の円を円O′とする。円OとO′は2点で交わるとし、その交点をP，Qとする。ただし、∠APB＜∠AQBとする。さらに、∠PABは鋭角であるとする。
このとき、ΔPABとΔQABについて考えよう。
（1）∠PAB＝α、∠PBA＝βとおく。
円Oの中心Oから直線PAに引いた垂線と直線PAとの交点をHとする。
∠OAB＝90°であるから、∠AOH＝αである。
よって、ΔOAHに着目すると、AH＝（ コ ）sinαであるから
PA＝2AH＝（ サ ）sinα ・・・・・①
である。
同様にして、円O′の中心O′から直線PBに引いた垂線と直線PBとの交点をH′とすると
PB＝2BH′＝（ シ ）sinβ ・・・・・②
であることもわかる。
また、ΔPABの外接円の半径をR1とおくと、正弦定理により
PA／sin（ ス ）＝PB／sin（ セ ）＝2R1
が成り立つので
PAsin（ セ ）＝PBsin（ ス ）
である。
この式に、①と②を代入することにより
sin（ セ ）＝（√［ ソ ］）sin（ ス ）
PB＝（√［ ソ ］）PA
となることがわかる。
R1＝（ タ ）√（ チ ）
が得られる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）の考察を振り返っている。
太郎：ΔQABの外接円の半径も求められるかな。
花子：（1）のR1の求め方を参考にすればよさそうだね。
ΔPAB，ΔQABの外接円の半径をそれぞれR1，R2とおく。
このとき、
R1（ ツ ）R2である。
さらに、sin∠APB（ テ ）sin∠AQBであることもわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このとき、ΔPABとΔQABについて考えよう。
（1）∠PAB＝α、∠PBA＝βとおく。
円Oの中心Oから直線PAに引いた垂線と直線PAとの交点をHとする。
∠OAB＝90°であるから、∠AOH＝αである。
よって、ΔOAHに着目すると、AH＝（ コ ）sinαであるから
PA＝2AH＝（ サ ）sinα ・・・・・①
である。
同様にして、円O′の中心O′から直線PBに引いた垂線と直線PBとの交点をH′とすると
PB＝2BH′＝（ シ ）sinβ ・・・・・②
であることもわかる。
また、ΔPABの外接円の半径をR1とおくと、正弦定理により
PA／sin（ ス ）＝PB／sin（ セ ）＝2R1
が成り立つので
PAsin（ セ ）＝PBsin（ ス ）
である。
この式に、①と②を代入することにより
sin（ セ ）＝（√［ ソ ］）sin（ ス ）
PB＝（√［ ソ ］）PA
となることがわかる。
R1＝（ タ ）√（ チ ）
が得られる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）の考察を振り返っている。
太郎：ΔQABの外接円の半径も求められるかな。
花子：（1）のR1の求め方を参考にすればよさそうだね。
ΔPAB，ΔQABの外接円の半径をそれぞれR1，R2とおく。
このとき、
R1（ ツ ）R2である。
さらに、sin∠APB（ テ ）sin∠AQBであることもわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問12（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問12） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
〔2〕図1のように、直線l上の点Aにおいてlに接する半径2の円を円Oとし、l上の点Bにおいてlに接する半径4の円を円O′とする。円OとO′は2点で交わるとし、その交点をP，Qとする。ただし、∠APB＜∠AQBとする。さらに、∠PABは鋭角であるとする。
このとき、ΔPABとΔQABについて考えよう。
（1）∠PAB＝α、∠PBA＝βとおく。
円Oの中心Oから直線PAに引いた垂線と直線PAとの交点をHとする。
∠OAB＝90°であるから、∠AOH＝αである。
よって、ΔOAHに着目すると、AH＝（ コ ）sinαであるから
PA＝2AH＝（ サ ）sinα ・・・・・①
である。
同様にして、円O′の中心O′から直線PBに引いた垂線と直線PBとの交点をH′とすると
PB＝2BH′＝（ シ ）sinβ ・・・・・②
であることもわかる。
また、ΔPABの外接円の半径をR1とおくと、正弦定理により
PA／sin（ ス ）＝PB／sin（ セ ）＝2R1
が成り立つので
PAsin（ セ ）＝PBsin（ ス ）
である。
この式に、①と②を代入することにより
sin（ セ ）＝（√［ ソ ］）sin（ ス ）
PB＝（√［ ソ ］）PA
となることがわかる。
R1＝（ タ ）√（ チ ）
が得られる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）の考察を振り返っている。
太郎：ΔQABの外接円の半径も求められるかな。
花子：（1）のR1の求め方を参考にすればよさそうだね。
ΔPAB，ΔQABの外接円の半径をそれぞれR1，R2とおく。
このとき、
R1（ ツ ）R2である。
さらに、sin∠APB（ テ ）sin∠AQBであることもわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このとき、ΔPABとΔQABについて考えよう。
（1）∠PAB＝α、∠PBA＝βとおく。
円Oの中心Oから直線PAに引いた垂線と直線PAとの交点をHとする。
∠OAB＝90°であるから、∠AOH＝αである。
よって、ΔOAHに着目すると、AH＝（ コ ）sinαであるから
PA＝2AH＝（ サ ）sinα ・・・・・①
である。
同様にして、円O′の中心O′から直線PBに引いた垂線と直線PBとの交点をH′とすると
PB＝2BH′＝（ シ ）sinβ ・・・・・②
であることもわかる。
また、ΔPABの外接円の半径をR1とおくと、正弦定理により
PA／sin（ ス ）＝PB／sin（ セ ）＝2R1
が成り立つので
PAsin（ セ ）＝PBsin（ ス ）
である。
この式に、①と②を代入することにより
sin（ セ ）＝（√［ ソ ］）sin（ ス ）
PB＝（√［ ソ ］）PA
となることがわかる。
R1＝（ タ ）√（ チ ）
が得られる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）の考察を振り返っている。
太郎：ΔQABの外接円の半径も求められるかな。
花子：（1）のR1の求め方を参考にすればよさそうだね。
ΔPAB，ΔQABの外接円の半径をそれぞれR1，R2とおく。
このとき、
R1（ ツ ）R2である。
さらに、sin∠APB（ テ ）sin∠AQBであることもわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
△OAHが直角三角形であるので
sinα=AH/OA
となります。
OAは半径なのでOA=2を代入して整理すると
AH=OAsinα
AH=2sinα
となります。
また問題文より
PA
=2AH
=4sinα
△OAHと同様に△O'BP'が直角三角形であるので
sinβ=BH'/O'B
となります。
O'Bは半径なのでO'B=4を代入して整理すると
BH'=O'Bsinβ
BH'=4sinβ
となります。
PB
=2BH'
=8sinβ
問題文より△PABに注目して、正弦定理を用います。
PA/sinβ=PB/sinα=2R1
この式が成り立ちます。
式を抜き出して
PA/sinβ=PB/sinα
この式に
PA=4sinα
PB=8sinβを代入します。
4sinα/sinβ=8sinβ/sinα
4sin2α=8sin2β
sin2α=2sin2β
ここでα、βはそれぞれ鋭角のため
sinα>0,sinβ>0になることに注意すると
sinα=√2sinβ
PA/sinβ=PB/sinα=2R1
より
PA/sinβ=PB/sinα
この式に
sinα=√2sinβを代入して整理していきます。
PA/sinβ=PB/√2sinβ
PB=√2PA
PB/sinα=2R1
この式に
PB=√2PA
PA=4sinαをそれぞれ代入して計算します。
2R1=PB/sinα
2R1=√2PA/sinα
2R1=4√2sinα/sinα
R1=2√2
前問と同様に∠QAB=α'、∠QBA=β'
円Oの中心Oから直線QAに引いた垂線と直線QAとの交点をM
円O'の中心O'から直線QBに引いた垂線と直線QBとの交点をM'
とおきます。
△OAMが直角三角形であるので
sinα'=AM/OA
となります。
OAは半径なのでOA=2を代入して整理すると
AM=OAsinα'
AM=2sinα'
となります。
また問題文より
QA
=2AM
=4sinα'
△OAMと同様に△O'BM'が直角三角形であるので
sinβ'=BM'/O'B
となります。
O'Bは半径なのでO'B=4を代入して整理すると
BM'=O'Bsinβ'
BM'=4sinβ'
となります。
QB
=2BM'
=8sinβ'
ここで△QABに注目して、正弦定理を用います。
QA/sinβ'=QB/sinα'=2R2
この式が成り立ちます。
式を抜き出して
QA/sinβ'=QB/sinα'
この式に
QA=4sinα'
QB=8sinβ'を代入します。
4sinα'/sinβ'=8sinβ'/sinα'
4sin2α'=8sin2β'
sin2α'=2sin2β'
ここでα'、β'はそれぞれ鋭角のため
sinα'>0,sinβ'>0になることに注意すると
sinα'=√2sinβ'
QA/sinβ'=QB/sinα'=2R1
より
QA/sinβ'=QB/sinα'
この式に
sinα'=√2sinβ'を代入して整理していきます。
QA/sinβ'=QB/√2sinβ'
QB=√2QA
QB/sinα'=2R2
この式に
QB=√2QA
QA=4sinα'をそれぞれ代入して計算します。
2R2=QB/sinα'
2R2=√2QA/sinα'
2R2=4√2sinα/sinα'
R2=2√2
したがって、
R1=R2
となります。
ここで
△PABに注目して、正弦定理を用います。
AB/sin∠APB=2R1
sin∠APB=AB/2R1
また △QABに注目して、正弦定理を用います。
AB/sin∠AQB=2R2
sin∠AQB=AB/2R2
R1=R2
なので
sin∠PAB=sin∠AQB
この選択肢が正解です。
うまく必要部分を抜き出して考えていきましょう。
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02
解答：=
解説：
△PABに対して正弦定理を用いると、
AB/sin∠APB=2R1
⇔sin∠APB=AB/2R1
△QABに対して正弦定理を用いると、
AB/sin∠AQB=2R2
⇔sin∠AQB=AB/2R2
（ツ）より、
sin∠PAB=sin∠AQB
参考になった数0
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