大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問14)

〔2〕図1のように、直線l上の点Aにおいてlに接する半径2の円を円Oとし、l上の点Bにおいてlに接する半径4の円を円O′とする。円OとO′は2点で交わるとし、その交点をP，Qとする。ただし、∠APB＜∠AQBとする。さらに、∠PABは鋭角であるとする。このとき、ΔPABとΔQABについて考えよう。

（1）∠PAB＝α、∠PBA＝βとおく。

円Oの中心Oから直線PAに引いた垂線と直線PAとの交点をHとする。

∠OAB＝90°であるから、∠AOH＝αである。

よって、ΔOAHに着目すると、AH＝（　コ　）sinαであるから

PA＝2AH＝（　サ　）sinα　　・・・・・①

である。

同様にして、円O′の中心O′から直線PBに引いた垂線と直線PBとの交点をH′とすると

PB＝2BH′＝（　シ　）sinβ　　・・・・・②

であることもわかる。

また、ΔPABの外接円の半径をR₁とおくと、正弦定理により

PA／sin（　ス　）＝PB／sin（　セ　）＝2R₁

が成り立つので

PAsin（　セ　）＝PBsin（　ス　）

である。

この式に、①と②を代入することにより

sin（　セ　）＝（√［　ソ　］）sin（　ス　）

PB＝（√［　ソ　］）PA

となることがわかる。

R₁＝（　タ　）√（　チ　）

が得られる。

（2）太郎さんと花子さんは、（1）の考察を振り返っている。

太郎：ΔQABの外接円の半径も求められるかな。
花子：（1）のR₁の求め方を参考にすればよさそうだね。

ΔPAB，ΔQABの外接円の半径をそれぞれR₁，R₂とおく。

このとき、

R₁（　ツ　）R₂である。

さらに、sin∠APB（　テ　）sin∠AQBであることもわかる。

（3）太郎さんと花子さんは、これまでの考察をもとに、ΔPABとΔQABの辺の長さについて考えている。

太郎：ABの長さが与えられれば、PAとQAの長さが求められそうだね。
花子：∠APB＜∠AQBに注意して求めてみようよ。

AB＝2√7とする。

sin∠APB＝（√［　トナ　］）／（　ニ　）

である。
（1）より、PB＝（√［　ソ　］）PAであるから

PA＝√（　ヌネ　）

である。

同様に、QA＝√7であることがわかる。

（　ヌネ　）にあてはまるものを1つ選べ。