大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8)

ある行事で、主催者が次のゲームを計画している。

ゲーム
参加者はくじを最大3回引き、当たりが出たら、1200円相当の景品を主催者から受け取り、以降はくじを引かない。参加者はくじを1回目、2回目、3回目で異なる箱から引く。1回目のくじ引きで当たりが出なかった場合は2回目のくじを引き、2回目のくじ引きでも当たりが出なかった場合は3回目のくじを引く。主催者は、当たりの出る確率について次のとおり設定する。
●1回目に当たりが出る確率は3／16である。
●1回目に当たりが出ず、かつ2回目に当たりが出る確率は1／8である。
●1回目、3回目ともに当たりが出ず、かつ3回目に当たりが出る確率は1／16である。

ゲームの参加料について、主催者は2種類の支払い方法を考えている。参加料に関する設定の妥当性について、主催者は判断を行う。

（1）1回目または2回目に当たりが出る確率は（　ア　）／（　イウ　）である。

このことから、1回目、2回目ともに当たりが出ない確率は（　エオ　）／（　カキ　）であることがわかる。

1回も当たりが出ない確率は（　ク　）／（　ケ　）である。

以下では、主催者が参加者に対して負担する金額をX円とする。すなわち、参加者がゲームで景品を受け取るときX＝1200，参加者がゲームで景品を受け取らないときX＝0である。

（2）（ⅰ）数量Xの期待値は（　コサシ　）である。なお、必要に応じて、後に示す表を用いて考えてもよい。

（ⅱ）次の支払い方法1を考える。

支払い方法1
参加者は1回目のくじを引く直前に参加料500円を支払う。

支払い方法1の場合、主催者が負担する金額X円の期待値が、参加料の金額500円未満であるとき、主催者は参加料の設定は妥当であると判断し、参加料の金額500円以上であるとき、参加料の設定は妥当ではないと判断する。（ⅰ）で求めたX円の期待値（　コサシ　）円は参加料の金額500円（　ス　）。したがって、主催者は参加料500円という設定について（　セ　）と判断する。

（3）aを正の整数とする。次の支払い方法2を考える。

支払い方法2
参加者は1回目、2回目、3回目のくじを引く直前にそれぞれ料金a円を支払う。なお、この料金をくじ引き料といい、当たりが出た後は、くじを引かないため、くじ引き料を支払わないことになる。

支払い方法2で、ゲームを通して参加者が支払うくじ引き料の合計を参加料とし、Y円で表す。

（ⅰ）a＝170とする。このとき、次が成り立つ。
・1回目にあたりが出るとき、Y＝170である。
・1回目に当たりが出ず、かつ2回目に当たりが出るとき、Y＝340である。
・1回目、2回目ともにあたりがでないとき、Y＝510である。

数量Yの期待値は（　ソタチ　）である。なお、必要に応じて、後に示す表を用いて考えてもよい。

（ⅱ）支払い方法2の場合、主催者が負担する金額X円の期待値が、参加料Y円の期待値未満であるとき、主催者はくじ引き料の設定は妥当であると判断し、参加料Y円の期待値以上であるとき、くじ引き料の設定は妥当ではないと判断する。
（2）の（ⅰ）で求めたX円の期待値（　コサシ　）円は、a＝170と設定した場合の支払い方法2で参加者が支払う参加料Y円の期待値（　ソタチ　）円（　ツ　）。したがって、主催者はくじ引き料170円という設定について（　テ　）と判断する。
また、主催者がくじ引き料の設定が妥当であると判断するのはa＞（　トナニ　）のときであり、主催者がくじ引き料の設定が妥当ではないと判断するのはa≦（　トナニ　）のときである。

（　ツ　）にあてはまるものを1つ選べ。