大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問53 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問6)

（1）0≦θ＜πのとき、方程式

sin｛θ＋（π／6）｝＝sin2θ　　・・・・・①

の解を求めよう。以下では、α＝θ＋（π／6）、β＝2θとおく。

このとき、①は

sinα＝sinβ　　・・・・・②

となる。

（ⅰ）二つの一般角αとβが等しければ、sinαとsinβは等しい。

α＝βを満たすθはπ／（　ア　）であり、これは①の解の一つである。

そして、θ＝π／（　ア　）のとき

sin｛θ＋（π／6）｝（＝sin2θ＝（√［　イ　］）／（　ウ　）となる。

（ⅱ）太郎さんと花子さんは、θ＝π／（　ア　）以外の①の解を求める方法について話している。

太郎：角が等しくなくても、サインの値が等しくなることがあるね。
花子：サインの値が等しくなるのはどんなときか、単位円を用いて考えてみようか。

Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円をCとする。さらに、αの動径とCとの交点をP，βの動径とCとの交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。

②が成り立つときに、点Pと点Qの間につねに成り立つ関係の記述として、正しいものは（　エ　）である。

（ⅲ）θ≠π／（　ア　）とする。

・0≦θ≦π／2の場合を考える。このとき、0≦β≦πであるので、②が成り立つとき、（ⅱ）で考察したことに注意すると、αとβは

α＋β＝（　オ　）

を満たすことがわかる。これより、0≦θ≦π／2のときの①の解

θ＝（［　カ　］／［　キク　］）π

を得る。

・π／2＜θ＜πの場合を考える。

このとき、π＜β＜2πであるので、②が成り立つとき、（ⅱ）で考察したことに注意すると、αとβは

α＋β＝（　ケ　）

を満たすことがわかる。これより、π／2＜θ＜πのときの①の解

θ＝（［　コサ　］／［　シス　］）π

を得る。

以上より、0≦θ＜πのとき、①の解は

θ＝π／（　ア　），（［　カ　］／［　キク　］）π，（［　コサ　］／［　シス　］）π

である。

（　ケ　）にあてはまるものを1つ選べ。