共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問73 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問10)
問題文
以下（ セ ）について、最も適当なものを、後の選択肢のうちから一つ選べ。なお、y軸は省略しているが、上方向が正の方向であり、x軸は直線y＝0を表している。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問73（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ セ ）について、最も適当なものを、後の選択肢のうちから一つ選べ。なお、y軸は省略しているが、上方向が正の方向であり、x軸は直線y＝0を表している。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
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この過去問の解説 （1件）
01
前問までで、次のことが分かっていました。
・F(x)の導関数は f(x)
・F(x)はx=0で極小値0をとる
・したがって、f(0)=0 で、x=0の前後では負から正に変わる
・また、G(x)はx=kで極大値0をとる
・F(x)とG(x)は導関数が同じなので、極値をとるxの位置は同じ
・したがって、F(x)もx=kで極大をとり、x=kの前後では f(x) の符号が正から負に変わる
つまり、f(x) の符号は全体として
・x<0 で負
・0<x<k で正
・x>k で負
となります。
これを F(x) の増減に直すと、
・x<0 では減少
・0<x<k では増加
・x>k では減少
です。
さらに、F(0)=0 で極小値なので、x=0では x軸に接している ことも大切です。
これが当てはまります。
・x=0で極小値0
→ x軸に接する極小になる
・k>0 で極大
→ その右側に極大がある
・x>k では減少
→ 極大のあと右へ行くと下がる
・しかも右側では最後に下がり続けるので、x軸を1回横切る形になる
条件にぴったり合っています。
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