共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問96 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10)

標本の大きさ(n)が十分に大きい場合に

標本平均W^-は近似的に

正規分布(m,σ²／n)に従います。

この問題では

m=110

σ=20

となるため

正規分布(110,1)に従います。

問題より

P(W^-≦108.2)

=P｛Z≦(108.2-110)/1｝

=P(Z≦-1.8)

=0.0359

これは

有意水準5%よりも値が小さいため

帰無仮説は棄却されます。

よって対立仮説（m＜110）は正しいと判断できます。

前問までで、帰無仮説 m＝110 が正しいとしたときに、

P(W^-≦108.2)=0.0359と求めました。

標本の大きさnが十分大きいとき、標本平均W^-は近似的に正規分布に従い、

平均は m

分散は σ²／n

になります。

したがって、

W^-は近似的に N(m,σ²／n) に従います。

標本の大きさが400、母標準偏差が20なので、標本平均W^-は近似的に

平均：m

分散：20²／400＝400／400＝1

の正規分布に従います。

 

ここでは、帰無仮説 m＝110 が正しいと仮定すると書かれているので、平均は110です。
したがって、

W^-は近似的に N（110，1）に従う、となります。

したがって、求めるのはP(W^-≦108.2)です。
これを標準化すると、

Z=(W^-−110)/1

なので、

108.2のとき Z=−1.8

です。
よって、

P(W^-≦108.2)=P(Z≦−1.8)

となります。

正規分布表より、

P(Z≦−1.8)=0.0359

です。

これは 3.59％ です。

有意水準は 5％ なので、3.59％＜5％です。
そのため、観測された結果は帰無仮説のもとでは起こりにくいと考え、帰無仮説を棄却します。

対立仮説は m＜110 でしたから、母平均は110gより軽いと判断できることになります。