共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問40 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問（1）（ii）（キ・クケ）)
問題文
1人対1人で対戦する競技の大会があり、A，B，Cの3人、またはA，B，C，Dの4人で開催される。大会はリーグ戦形式で行われる。すなわち、それぞれの人が他のすべての人と1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、Aが対戦相手に勝つ確率は2／3であり、A以外の2人が対戦するとき勝つ確率はどちらも1／2であるものとする。なお、各対戦の結果は互いに影響を与えないものとする。すべての対戦が終わった後、次の優勝者の決め方により優勝者を1人決める。
＜優勝者の決め方＞
勝ち数が一番多い人が1人であれば、その人を優勝者とする。そうでなければ、抽選により、勝ち数が一番多い人の中から1人を選び、その人を優勝者とする。
ただし、勝ち数が一番多い人の人数がn人であるとき、それぞれの人が選ばれる確率は1／nであるものとする。
Aが優勝する確率を、A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときと、A，B，C，Dの4人でリーグ戦を行うときとで比較しよう。
以下では、すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ。なお、対戦結果は抽選の結果を含まない。対戦結果を示すために表を用いる。例えば、表1は4人でリーグ戦を行ったときの対戦結果の一つを示す。Aから始まる行の✕〇〇は、AがBに負けCとDに勝ち、2勝1敗となったことを示す。また、勝ち数が一番多いAとBの2人が抽選の対象であり、そのことを✓で示す。
（1）A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
（i）Aが2勝0敗ならば、Aが優勝する。Aが2勝0敗で優勝する確率は
（ ア ）／（ イ ）である。
（ii）Aが1勝1敗で優勝するためには、BもCも1勝1敗であることが必要である。例えば、Aが勝つ相手がBであるとき、AがCに負けBがCに勝つことが必要である。表2は、この対戦結果を示し、この対戦結果になる確率は（ ウ ）／（ エ ）である。
この対戦結果になり、かつAが抽選により優勝者に選ばれる確率は（｛ ウ ｝／｛ エ ｝）✕（｛ オ ｝／｛ カ ｝）である。
Aが勝つ相手はB，Cの2通りあることに注意すると、Aが1勝1敗で優勝する確率は（ キ ）／（ クケ ）であることがわかる。
（i）と（ii）から、Aが優勝する確率は（｛ ア ｝／｛ イ ｝）＋（｛ キ ｝／｛ クケ ｝）である。
（ キ ）（ クケ ）にあてはまるものを選べ。
＜優勝者の決め方＞
勝ち数が一番多い人が1人であれば、その人を優勝者とする。そうでなければ、抽選により、勝ち数が一番多い人の中から1人を選び、その人を優勝者とする。
ただし、勝ち数が一番多い人の人数がn人であるとき、それぞれの人が選ばれる確率は1／nであるものとする。
Aが優勝する確率を、A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときと、A，B，C，Dの4人でリーグ戦を行うときとで比較しよう。
以下では、すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ。なお、対戦結果は抽選の結果を含まない。対戦結果を示すために表を用いる。例えば、表1は4人でリーグ戦を行ったときの対戦結果の一つを示す。Aから始まる行の✕〇〇は、AがBに負けCとDに勝ち、2勝1敗となったことを示す。また、勝ち数が一番多いAとBの2人が抽選の対象であり、そのことを✓で示す。
（1）A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
（i）Aが2勝0敗ならば、Aが優勝する。Aが2勝0敗で優勝する確率は
（ ア ）／（ イ ）である。
（ii）Aが1勝1敗で優勝するためには、BもCも1勝1敗であることが必要である。例えば、Aが勝つ相手がBであるとき、AがCに負けBがCに勝つことが必要である。表2は、この対戦結果を示し、この対戦結果になる確率は（ ウ ）／（ エ ）である。
この対戦結果になり、かつAが抽選により優勝者に選ばれる確率は（｛ ウ ｝／｛ エ ｝）✕（｛ オ ｝／｛ カ ｝）である。
Aが勝つ相手はB，Cの2通りあることに注意すると、Aが1勝1敗で優勝する確率は（ キ ）／（ クケ ）であることがわかる。
（i）と（ii）から、Aが優勝する確率は（｛ ア ｝／｛ イ ｝）＋（｛ キ ｝／｛ クケ ｝）である。
（ キ ）（ クケ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問40（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問（1）（ii）（キ・クケ）） （訂正依頼・報告はこちら）
1人対1人で対戦する競技の大会があり、A，B，Cの3人、またはA，B，C，Dの4人で開催される。大会はリーグ戦形式で行われる。すなわち、それぞれの人が他のすべての人と1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、Aが対戦相手に勝つ確率は2／3であり、A以外の2人が対戦するとき勝つ確率はどちらも1／2であるものとする。なお、各対戦の結果は互いに影響を与えないものとする。すべての対戦が終わった後、次の優勝者の決め方により優勝者を1人決める。
＜優勝者の決め方＞
勝ち数が一番多い人が1人であれば、その人を優勝者とする。そうでなければ、抽選により、勝ち数が一番多い人の中から1人を選び、その人を優勝者とする。
ただし、勝ち数が一番多い人の人数がn人であるとき、それぞれの人が選ばれる確率は1／nであるものとする。
Aが優勝する確率を、A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときと、A，B，C，Dの4人でリーグ戦を行うときとで比較しよう。
以下では、すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ。なお、対戦結果は抽選の結果を含まない。対戦結果を示すために表を用いる。例えば、表1は4人でリーグ戦を行ったときの対戦結果の一つを示す。Aから始まる行の✕〇〇は、AがBに負けCとDに勝ち、2勝1敗となったことを示す。また、勝ち数が一番多いAとBの2人が抽選の対象であり、そのことを✓で示す。
（1）A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
（i）Aが2勝0敗ならば、Aが優勝する。Aが2勝0敗で優勝する確率は
（ ア ）／（ イ ）である。
（ii）Aが1勝1敗で優勝するためには、BもCも1勝1敗であることが必要である。例えば、Aが勝つ相手がBであるとき、AがCに負けBがCに勝つことが必要である。表2は、この対戦結果を示し、この対戦結果になる確率は（ ウ ）／（ エ ）である。
この対戦結果になり、かつAが抽選により優勝者に選ばれる確率は（｛ ウ ｝／｛ エ ｝）✕（｛ オ ｝／｛ カ ｝）である。
Aが勝つ相手はB，Cの2通りあることに注意すると、Aが1勝1敗で優勝する確率は（ キ ）／（ クケ ）であることがわかる。
（i）と（ii）から、Aが優勝する確率は（｛ ア ｝／｛ イ ｝）＋（｛ キ ｝／｛ クケ ｝）である。
（ キ ）（ クケ ）にあてはまるものを選べ。
＜優勝者の決め方＞
勝ち数が一番多い人が1人であれば、その人を優勝者とする。そうでなければ、抽選により、勝ち数が一番多い人の中から1人を選び、その人を優勝者とする。
ただし、勝ち数が一番多い人の人数がn人であるとき、それぞれの人が選ばれる確率は1／nであるものとする。
Aが優勝する確率を、A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときと、A，B，C，Dの4人でリーグ戦を行うときとで比較しよう。
以下では、すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ。なお、対戦結果は抽選の結果を含まない。対戦結果を示すために表を用いる。例えば、表1は4人でリーグ戦を行ったときの対戦結果の一つを示す。Aから始まる行の✕〇〇は、AがBに負けCとDに勝ち、2勝1敗となったことを示す。また、勝ち数が一番多いAとBの2人が抽選の対象であり、そのことを✓で示す。
（1）A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
（i）Aが2勝0敗ならば、Aが優勝する。Aが2勝0敗で優勝する確率は
（ ア ）／（ イ ）である。
（ii）Aが1勝1敗で優勝するためには、BもCも1勝1敗であることが必要である。例えば、Aが勝つ相手がBであるとき、AがCに負けBがCに勝つことが必要である。表2は、この対戦結果を示し、この対戦結果になる確率は（ ウ ）／（ エ ）である。
この対戦結果になり、かつAが抽選により優勝者に選ばれる確率は（｛ ウ ｝／｛ エ ｝）✕（｛ オ ｝／｛ カ ｝）である。
Aが勝つ相手はB，Cの2通りあることに注意すると、Aが1勝1敗で優勝する確率は（ キ ）／（ クケ ）であることがわかる。
（i）と（ii）から、Aが優勝する確率は（｛ ア ｝／｛ イ ｝）＋（｛ キ ｝／｛ クケ ｝）である。
（ キ ）（ クケ ）にあてはまるものを選べ。
- キ：1 クケ：18
- キ：2 クケ：27
- キ：3 クケ：32
- キ：4 クケ：35
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この過去問の解説 （2件）
01
前問までで、
と求めました。
まず、表2のように、
AがBに勝つ
AがCに負ける
BがCに勝つ
という対戦結果になる確率は、1／9です。
この場合、
A：1勝1敗
B：1勝1敗
C：1勝1敗
となります。
3人全員が抽選の対象なので、Aが優勝者として選ばれる確率は、1／3です。
したがって、この対戦結果になり、さらにAが優勝する確率は、
1／9×1／3
＝1／27
となります。
ここで、Aが1勝1敗になる場合は、AがBに勝ってCに負ける場合だけではありません。
反対に、AがCに勝ってBに負ける場合もあります。
この場合も3人全員を1勝1敗にするには、CがBに勝ればよく、その確率は同じく、
2／3×1／3×1／2＝1／9
です。
したがって、Aが1勝1敗で優勝する場合は同じ確率のものが2通りあります。
よって、
1／27×2＝2／27
です。
したがって、Aが1勝1敗で優勝する確率＝2／27となります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
ウ～カにより、Aが1勝1敗で、Aが勝つ相手がBであり、Aが抽選されて優勝する確率は、
(1/9)×(1/3)＝1/27
と求めることができます。
Aが1勝1敗であるとき、Aが勝つ相手はB・Cの2通りあります。
このうち、Aが勝つ相手がBであるときの確率を考えてきました。
そうなると、Aが勝つ相手がCであるときの確率を考えることになります。
その場合、対戦表は以下のようになります。
① ✕A VS B〇
② 〇A VS C✕
③ ✕B VS C〇
となります。問題文にある表2のようになる確率は、
(2/3)×(1/3)×(1/2)＝1/9
① ② ③
と計算できます。
A・B・C全員が勝ち数が同じですので、このままではAは優勝するとは限りません。
Aが優勝するためには、A・B・Cの3人の中から抽選で選ばれなければなりません。
Aが抽選で選ばれる確率は、1/3となります。
以上から、Aが1勝1敗で、Aが勝つ相手がCであり、Aが抽選されて優勝する確率は、
(1/9)×(1/3)＝1/27
と求めることができます。
Aが1勝1敗で優勝する確率は、
(Aが1勝1敗で、Aが勝つ相手がBであり、Aが抽選されて優勝する確率)
＋(Aが1勝1敗で、Aが勝つ相手がCであり、Aが抽選されて優勝する確率)
(互いに排反な事象なので、そのままたし算してOK)
＝(1/27)＋(1/27)
＝2/27
となります。
※
上の表を見ると、表2とは〇・✕が入れ替わった形になっていますね。
・Aにとっては、勝つ相手・負ける相手が変わっただけで、
Aの勝ち負けに関する確率は変化していない
・B,Cの対戦結果も逆になっただけで、その確率は変化していない
・A,B,Cの3人で抽選が行われる
ことに注目すると、
・(Aが1勝1敗で、Aが勝つ相手がBであり、Aが抽選されて優勝する確率)と、
(Aが1勝1敗で、Aが勝つ相手がCであり、Aが抽選されて優勝する確率)は等しい
とあっさり予測できたかもしれません。
そうであれば、Aが1勝1敗で優勝する確率は、
(1/27)×2＝2/27
とすぐに計算できたと思います。
※
Aが2勝0敗で優勝する確率 4/9 ((ⅰ)で計算済)
Aが1勝1敗で優勝する確率 2/27
より、3人でリーグ戦を行ったとき、Aが優勝する確率は、
(4/9)＋(2/27)＝14/27
となります。
問題文にはこの計算式が書かれていますが、計算結果も余白に残しておきましょう。
この計算結果は、実際に後で利用します。
2/27が正解です。
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