共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問（2）（ii）（ツ・テ）)

1人対1人で対戦する競技の大会があり、A，B，Cの3人、またはA，B，C，Dの4人で開催される。大会はリーグ戦形式で行われる。すなわち、それぞれの人が他のすべての人と1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、Aが対戦相手に勝つ確率は2／3であり、A以外の2人が対戦するとき勝つ確率はどちらも1／2であるものとする。なお、各対戦の結果は互いに影響を与えないものとする。すべての対戦が終わった後、次の優勝者の決め方により優勝者を1人決める。

＜優勝者の決め方＞
勝ち数が一番多い人が1人であれば、その人を優勝者とする。そうでなければ、抽選により、勝ち数が一番多い人の中から1人を選び、その人を優勝者とする。
ただし、勝ち数が一番多い人の人数がn人であるとき、それぞれの人が選ばれる確率は1／nであるものとする。

Aが優勝する確率を、A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときと、A，B，C，Dの4人でリーグ戦を行うときとで比較しよう。

以下では、すべての対戦の勝敗を対戦結果と呼ぶ。なお、対戦結果は抽選の結果を含まない。対戦結果を示すために表を用いる。例えば、表1は4人でリーグ戦を行ったときの対戦結果の一つを示す。Aから始まる行の✕〇〇は、AがBに負けCとDに勝ち、2勝1敗となったことを示す。また、勝ち数が一番多いAとBの2人が抽選の対象であり、そのことを✓で示す。

（1）A，B，Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。

（i）Aが2勝0敗ならば、Aが優勝する。Aが2勝0敗で優勝する確率は
（　ア　）／（　イ　）である。

（ii）Aが1勝1敗で優勝するためには、BもCも1勝1敗であることが必要である。例えば、Aが勝つ相手がBであるとき、AがCに負けBがCに勝つことが必要である。表2は、この対戦結果を示し、この対戦結果になる確率は（　ウ　）／（　エ　）である。
この対戦結果になり、かつAが抽選により優勝者に選ばれる確率は（｛　ウ　｝／｛　エ　｝）✕（｛　オ　｝／｛　カ　｝）である。

Aが勝つ相手はB，Cの2通りあることに注意すると、Aが1勝1敗で優勝する確率は（　キ　）／（　クケ　）であることがわかる。

（i）と（ii）から、Aが優勝する確率は（｛　ア　｝／｛　イ　｝）＋（｛　キ　｝／｛　クケ　｝）である。

（2）A，B，C，Dの4人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。Aが3勝0敗ならば、Aが優勝する。また、Aが1勝2敗ならば、2勝以上する人がいるためAは優勝しない。
Aが2勝1敗で優勝する確率を、全敗する人がいる場合の確率と全敗する人がいない場合の確率の和として求める。

（i）全敗する人がいる場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を求める。全敗する人はB，C，Dの3通りある。例えば、Dが全敗するとき、対戦結果の一部を示すと表3のようになる。

Dが全敗する確率は（　コ　）／（　サ　）である。Dが全敗する場合、Aが2勝1敗で優勝するためには、AがD以外の2人との対戦で1勝1敗となることが必要である。
以上のことから、（1）の（ii）の結果を用い、全敗する人がB，C，Dの3通りあることに注意すると、全敗する人がいる場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率は（　シ　）／（　スセ　）であることがわかる。

（ii）全敗する人がいない場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を求める。
Aが2勝1敗のとき、Aが負ける相手はB，C，Dの3通りある。例えば、Aが負ける相手がBであるとき、対戦結果の一部を示すと表4のようになる。

このとき、Aが優勝するためには、Bは2勝1敗か1勝2敗であることが必要である。例えば、表1は、AとBが2勝1敗である対戦結果の一つを示し、AとBの2人が抽選の対象となったことを示す。

全敗する人がいない場合で、かつAがBに負けCとDに勝ち優勝するときの対戦結果は（　ソ　）通りある。Aが負ける相手がB，C，Dの3通りあることに注意すると、全敗する人がいない場合で、かつAが2勝1敗で優勝する
確率は（　タ　）／（　チ　）であることがわかる。

（i）と（ii）から、Aが2勝1敗で優勝する確率は（｛　シ　｝／｛　スセ　｝＋｛　タ　｝／｛　チ　｝）である。

以上のことから、Aが3勝0敗で優勝する確率を考慮すると、Aが優勝する確率は（｛　ツ　｝／｛　テ　｝）であることがわかる。この確率は（1）で求めた3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率より（　ト　）／（　ナニ　）だけ（　ヌ　）。

（　ツ　）（　テ　）にあてはまるものを選べ。