共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問（3）（ii）（サシ・ス）)
問題文
（1）二つの角A，Bに対し
sinA＋sinB＝2sin｛（A＋B）／2｝cos｛（A－B）／2｝・・・・・①
が成り立つことを示そう。
二つの角α，βに対し、加法定理から
sin（α＋β）＝（ ア ）＋cosαsinβ・・・・・②
sin（α－β）＝（ ア ）—cosαsinβ・・・・・③
である。②と③の左辺どうし、右辺どうしを加え、α＝（ イ ），β＝（ ウ ）とすると、①が得られる。
（2）関数f（x）を
f（x）＝sin｛x＋（5／12）π｝＋sin｛x＋（π／12）｝
とする。
0≦x＜2πの範囲でf（x）の最大値を考えよう。
①を用いると
f（x）＝2sin（x＋｛ エ ｝）cos（ オ ）
＝2cos（ オ ）sin（x＋｛ エ ｝）
と変形できる。
2cos（ オ ）は正の定数であるから、0≦x＜2πの範囲におい、f（x）は
x＝（ カ ）で最大値（ キ ）をとる。
（3）aを0＜a＜πを満たす定数とし、関数g（x）を
g（x）＝sin（x＋a）＋sin（x＋2a）＋sin（x＋3a）
とする。
花子さんと太郎さんは、関数y＝g（x）のグラフをコンピュータを用いて表示させてみた。図1は、a＝0.5，a＝1.0，a＝1.5としたときのy＝g（x）のグラフである。
これを見て、花子さんと太郎さんは、関数g（x）について話している。
花子：g（x）は、定数p，qを用いてg（x）＝Psin（x＋q）と変形できそうだね。
太郎：三つの関数sin（x＋a），sin（x＋2a），sin（x＋3a）のうちの2つの関数の和に①を使うと、残り一つの関数の定数倍にできるかな。
（i）①を用いると、関数sin（x＋a），sin（x＋3a）のうちの二つの関数の和（ ク ）は、残りの関数sin｛x＋（ ケ ）｝の定数倍となる。
したがって、関数g（x）は
g（x）＝（ コ ）sin｛x＋（ ケ ）｝
と変形することができる。
（ii）a＝5／6πのとき，0≦x＜2πの範囲において、g（x）はx＝（ サシ ）／（ ス ）πで
最大値（ セ ）をとる。
（ サシ ）（ ス ）にあてはまるものを選べ。
sinA＋sinB＝2sin｛（A＋B）／2｝cos｛（A－B）／2｝・・・・・①
が成り立つことを示そう。
二つの角α，βに対し、加法定理から
sin（α＋β）＝（ ア ）＋cosαsinβ・・・・・②
sin（α－β）＝（ ア ）—cosαsinβ・・・・・③
である。②と③の左辺どうし、右辺どうしを加え、α＝（ イ ），β＝（ ウ ）とすると、①が得られる。
（2）関数f（x）を
f（x）＝sin｛x＋（5／12）π｝＋sin｛x＋（π／12）｝
とする。
0≦x＜2πの範囲でf（x）の最大値を考えよう。
①を用いると
f（x）＝2sin（x＋｛ エ ｝）cos（ オ ）
＝2cos（ オ ）sin（x＋｛ エ ｝）
と変形できる。
2cos（ オ ）は正の定数であるから、0≦x＜2πの範囲におい、f（x）は
x＝（ カ ）で最大値（ キ ）をとる。
（3）aを0＜a＜πを満たす定数とし、関数g（x）を
g（x）＝sin（x＋a）＋sin（x＋2a）＋sin（x＋3a）
とする。
花子さんと太郎さんは、関数y＝g（x）のグラフをコンピュータを用いて表示させてみた。図1は、a＝0.5，a＝1.0，a＝1.5としたときのy＝g（x）のグラフである。
これを見て、花子さんと太郎さんは、関数g（x）について話している。
花子：g（x）は、定数p，qを用いてg（x）＝Psin（x＋q）と変形できそうだね。
太郎：三つの関数sin（x＋a），sin（x＋2a），sin（x＋3a）のうちの2つの関数の和に①を使うと、残り一つの関数の定数倍にできるかな。
（i）①を用いると、関数sin（x＋a），sin（x＋3a）のうちの二つの関数の和（ ク ）は、残りの関数sin｛x＋（ ケ ）｝の定数倍となる。
したがって、関数g（x）は
g（x）＝（ コ ）sin｛x＋（ ケ ）｝
と変形することができる。
（ii）a＝5／6πのとき，0≦x＜2πの範囲において、g（x）はx＝（ サシ ）／（ ス ）πで
最大値（ セ ）をとる。
（ サシ ）（ ス ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問68（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問（3）（ii）（サシ・ス）） （訂正依頼・報告はこちら）
（1）二つの角A，Bに対し
sinA＋sinB＝2sin｛（A＋B）／2｝cos｛（A－B）／2｝・・・・・①
が成り立つことを示そう。
二つの角α，βに対し、加法定理から
sin（α＋β）＝（ ア ）＋cosαsinβ・・・・・②
sin（α－β）＝（ ア ）—cosαsinβ・・・・・③
である。②と③の左辺どうし、右辺どうしを加え、α＝（ イ ），β＝（ ウ ）とすると、①が得られる。
（2）関数f（x）を
f（x）＝sin｛x＋（5／12）π｝＋sin｛x＋（π／12）｝
とする。
0≦x＜2πの範囲でf（x）の最大値を考えよう。
①を用いると
f（x）＝2sin（x＋｛ エ ｝）cos（ オ ）
＝2cos（ オ ）sin（x＋｛ エ ｝）
と変形できる。
2cos（ オ ）は正の定数であるから、0≦x＜2πの範囲におい、f（x）は
x＝（ カ ）で最大値（ キ ）をとる。
（3）aを0＜a＜πを満たす定数とし、関数g（x）を
g（x）＝sin（x＋a）＋sin（x＋2a）＋sin（x＋3a）
とする。
花子さんと太郎さんは、関数y＝g（x）のグラフをコンピュータを用いて表示させてみた。図1は、a＝0.5，a＝1.0，a＝1.5としたときのy＝g（x）のグラフである。
これを見て、花子さんと太郎さんは、関数g（x）について話している。
花子：g（x）は、定数p，qを用いてg（x）＝Psin（x＋q）と変形できそうだね。
太郎：三つの関数sin（x＋a），sin（x＋2a），sin（x＋3a）のうちの2つの関数の和に①を使うと、残り一つの関数の定数倍にできるかな。
（i）①を用いると、関数sin（x＋a），sin（x＋3a）のうちの二つの関数の和（ ク ）は、残りの関数sin｛x＋（ ケ ）｝の定数倍となる。
したがって、関数g（x）は
g（x）＝（ コ ）sin｛x＋（ ケ ）｝
と変形することができる。
（ii）a＝5／6πのとき，0≦x＜2πの範囲において、g（x）はx＝（ サシ ）／（ ス ）πで
最大値（ セ ）をとる。
（ サシ ）（ ス ）にあてはまるものを選べ。
sinA＋sinB＝2sin｛（A＋B）／2｝cos｛（A－B）／2｝・・・・・①
が成り立つことを示そう。
二つの角α，βに対し、加法定理から
sin（α＋β）＝（ ア ）＋cosαsinβ・・・・・②
sin（α－β）＝（ ア ）—cosαsinβ・・・・・③
である。②と③の左辺どうし、右辺どうしを加え、α＝（ イ ），β＝（ ウ ）とすると、①が得られる。
（2）関数f（x）を
f（x）＝sin｛x＋（5／12）π｝＋sin｛x＋（π／12）｝
とする。
0≦x＜2πの範囲でf（x）の最大値を考えよう。
①を用いると
f（x）＝2sin（x＋｛ エ ｝）cos（ オ ）
＝2cos（ オ ）sin（x＋｛ エ ｝）
と変形できる。
2cos（ オ ）は正の定数であるから、0≦x＜2πの範囲におい、f（x）は
x＝（ カ ）で最大値（ キ ）をとる。
（3）aを0＜a＜πを満たす定数とし、関数g（x）を
g（x）＝sin（x＋a）＋sin（x＋2a）＋sin（x＋3a）
とする。
花子さんと太郎さんは、関数y＝g（x）のグラフをコンピュータを用いて表示させてみた。図1は、a＝0.5，a＝1.0，a＝1.5としたときのy＝g（x）のグラフである。
これを見て、花子さんと太郎さんは、関数g（x）について話している。
花子：g（x）は、定数p，qを用いてg（x）＝Psin（x＋q）と変形できそうだね。
太郎：三つの関数sin（x＋a），sin（x＋2a），sin（x＋3a）のうちの2つの関数の和に①を使うと、残り一つの関数の定数倍にできるかな。
（i）①を用いると、関数sin（x＋a），sin（x＋3a）のうちの二つの関数の和（ ク ）は、残りの関数sin｛x＋（ ケ ）｝の定数倍となる。
したがって、関数g（x）は
g（x）＝（ コ ）sin｛x＋（ ケ ）｝
と変形することができる。
（ii）a＝5／6πのとき，0≦x＜2πの範囲において、g（x）はx＝（ サシ ）／（ ス ）πで
最大値（ セ ）をとる。
（ サシ ）（ ス ）にあてはまるものを選べ。
- サシ：10 ス：7
- サシ：11 ス：6
- サシ：12 ス：5
- サシ：13 ス：4
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この過去問の解説 （2件）
01
a=56πのとき、
g(x)=(2cos56π+1)sin(x+2×56π)
={2×(-32)+1}sin(x+53π)
=(1-3)sin(x+53π)
0≦x<2πのとき53π≦x+53π<113πなので、-1≦sin(x+53π)≦1となります。すべての項に(1-3)をかけると、1-3<0であることに注意すると、
1-3≦(1-3)sin(x+53π)≦-(1-3)、すなわち1-3≦g(x)≦3-1となります。
したがって、x+53π=72π,すなわちx=116πのときにg(x)は最大値3-1をとります。
※y=g(x)のグラフは以下の通りです。
以上より、答えは116πです。
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02
(ⅰ)コ・サより、
g(x)＝(2cosa＋1)sin(x＋2a)
であることが分かっています。
ここに、a＝56πを代入すると、
g(x)＝(2cos56π＋1)・sin(x＋2×56π)
＝(2cos56π＋1)・sin(x＋53π)
＝(2・(－√32)＋1)sin(x＋53π)
＝(－√3＋1)sin(x＋53π)
となります。
ここで、x＋53π＝θとしましょう。
0≦x＜2πより、
53π≦x＋53π＜113π
ですので、
53π≦θ＜113π
となります。
sin(x＋53π)＝sinθ
は、
θ＝72πのとき、最小値－1をとる
ことになります。
よって、
(－√3＋1)sin(x＋53π)＝(－√3＋1)sinθ
は、
θ＝72πのとき、最大値(－√3＋1)×(－1)＝√3－1
をとることになります。
x＋53π＝θでしたので、
x＋53π＝72π ⇔ x＝116πのとき、
g(x)＝(－√3＋1)sin(x＋53π)は、最大値√3－1をとる
ことになります。
※
g(x)＝(－√3＋1)sin(x＋53π)
の係数である－√3＋1は、負の値です。
1.7＜√3＜1.8ですので、
－1.8＜－√3＜－1.7
－0.8＜－√3＋1＜－0.7
となり、負の値をとることがわかります。
あるいは、「√3≒1.73だから、－√3＋1≒－0.73」と、
ざっくり計算して判断しても良いでしょう
(マーク式の試験ですので、ざっくり計算でもOKです)。
従って、sin(x＋53π)が最小値をとれば、
g(x)＝(－√3＋1)sin(x＋53π)は最大値をとります。
誤って、「sin(x＋53π)が最大値をとればいいんだ！」としてしまいそうですが、
それですと、g(x)の最小値が求まってしまいます。
x＝116πが正解です。
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