共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問56 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8)

正の数p、qが連立不等式

p²≦q≦p³／10　・・・・・①
10⁶／（p²q）≦q≦10⁹／p²　・・・・・②

を満たすとき、q／pのとり得る値の範囲について考えよう。

（1）太郎さんと花子さんは、連立不等式①、②について話している。

太郎：①と②の表す領域を図示するのは難しそうだね。
花子：対数をとってみたらどうかな。

（ii）正の数M、Nに対し

M＜N　⇔　log₁₀M（　ウ　）log₁₀N

が成り立ち、さらに、「M＝N　⇔　log₁₀M＝log₁₀N」であることを考えると

M≦N　⇔　log₁₀M（　エ　）log₁₀N

が成り立つ。
よって

p²≦q　⇔　log₁₀p²（　エ　）log₁₀q

が成り立つ。
x＝log₁₀p、y＝log₁₀qとすると、①が成り立つとき、x、yは

（　オ　）≦y≦（　カ　）　・・・・・③

を満たす。逆に、③が成り立つとき、p、qは①を満たす。
また、②が成り立つとき、x、yは

（　キ　）≦y≦（　ク　）　・・・・・④

を満たす。逆に、④が成り立つとき、p、qは②を満たす。

（3）k＝q／pとおき、kのとり得る値の範囲を求める。x＝log₁₀p、y＝log₁₀qとするとき、yをk、xを用いて表すと、y＝（　コ　）である。

y＝（　コ　）のグラフが連立不等式③、④の表す領域と共有点をもつのは

（　サ　）≦k≦（　シ　）

のときである。
したがって、p、qが連立不等式①、②を満たすとき、q／pのとり得る値の範囲は（　サ　）≦q／p≦（　シ　）である。

（　サ　）、（　シ　）にあてはまるものを1つ選べ。