大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問38 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10)

前問と同様に考えます。

1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方は、以下の5つの場合に分けられます。

(1)ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合

(2)ちょうど2人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合

(3)ちょうど3人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合

(4)ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合

(5)ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合

(1)について、1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

₅C₁＝5通りになります。

このうち、残りの4人は自分の持参したプレゼントを受け取らない場合は、前問より9通りになります。

よって、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

5×9＝45通りになります。

(2)について、2人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

₅C₂＝10通りになります。

このうち、残りの3人は自分の持参したプレゼントを受け取らない場合は、前問より2通りになります。

よって、ちょうど2人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

10×2＝20通りになります。

(3)について、3人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

₅C₃＝10通りになります。

このうち、残りの2人は自分の持参したプレゼントを受け取らない場合は、1通りになります。

よって、ちょうど3人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

10×1＝10通りになります。

(4)ですが、4人のプレゼントの受け取り方を決めると、残り一人の受け取り方は自動的に決まるので、

ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は0通りになります。

(5)について、ちょうど5人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、

₅C₅＝1通りになります。

よって、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方は、

45+20+10+0+1=76通りになります。

受け取り方の総数は5！＝120通りなので、1回目の交換で交換会が終了する確率は、

(120-76)/120

=44/120

=11/30になります。