大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問38 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10)
問題文
以下（ チツ／テト ）に当てはまるものを選べ。
複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順
外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。
交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
（3）5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は（ チツ／テト ）である。
複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順
外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。
交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
（3）5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は（ チツ／テト ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問38（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ チツ／テト ）に当てはまるものを選べ。
複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順
外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。
交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
（3）5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は（ チツ／テト ）である。
複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順
外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。
交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
（3）5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は（ チツ／テト ）である。
- 11／30
- 11／35
- 15／30
- 15／35
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この過去問の解説 （2件）
01
「1回目で交換会が終了する」とは、5人全員が自分以外のプレゼントを受け取ることです。
つまり、受け取り方（並べ替え）で自分の位置に自分のプレゼントが来ない形を数えます。
まず、全部の受け取り方は
5!＝120通りです。
次に、「だれも自分のものを受け取らない」受け取り方を数えます。
ここでは「少なくとも1人が自分のものを受け取る」受け取り方を引き算で調整して数えます。
（同じ受け取り方を二重に引かないように、足したり引いたりします）
・1人が自分のものを受け取る人を選ぶ：5通り
そのとき残り4人の並べ方：4!＝24通り
→ 5×24＝120通りを「引く」
・ただし「2人とも自分のものを受け取る」場合は、上で2回引かれてしまうので「足し戻す」
2人を選ぶ：10通り、残り3人：3!＝6通り
→ 10×6＝60通りを「足す」
・「3人が自分のものを受け取る」場合は、足し過ぎになるので「引く」
3人を選ぶ：10通り、残り2人：2!＝2通り
→ 10×2＝20通りを「引く」
・「4人が自分のものを受け取る」場合は「足す」
4人を選ぶ：5通り、残り1人：1!＝1通り
→ 5×1＝5通りを「足す」
・「5人全員が自分のものを受け取る」場合は「引く」
→ 1通りを「引く」
よって、だれも自分のものを受け取らない通り数は
120−120＋60−20＋5−1＝44通りです。
確率は
44／120＝11／30
となります。
正解です。
「だれも自分のものを受け取らない並べ替え」は、人数が増えると一気に数えにくくなります。
そこで今回のように「少なくとも1人が自分のものを受け取る」を基準にして、重なりを調整しながら数える方法が便利です。
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02
場合の数と確率の問題です。
公式をきちんと使えることも大切ですが、
数が少ない場合は実際に考えられるパターンを書いてみて、
自分の回答が間違っていないか確認するようにしましょう。
前問と同様に考えます。
1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方は、以下の5つの場合に分けられます。
(1)ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合
(2)ちょうど2人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合
(3)ちょうど3人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合
(4)ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合
(5)ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合
(1)について、1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
5C1＝5通りになります。
このうち、残りの4人は自分の持参したプレゼントを受け取らない場合は、前問より9通りになります。
よって、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
5×9＝45通りになります。
(2)について、2人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
5C2＝10通りになります。
このうち、残りの3人は自分の持参したプレゼントを受け取らない場合は、前問より2通りになります。
よって、ちょうど2人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
10×2＝20通りになります。
(3)について、3人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
5C3＝10通りになります。
このうち、残りの2人は自分の持参したプレゼントを受け取らない場合は、1通りになります。
よって、ちょうど3人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
10×1＝10通りになります。
(4)ですが、4人のプレゼントの受け取り方を決めると、残り一人の受け取り方は自動的に決まるので、
ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は0通りになります。
(5)について、ちょうど5人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、
5C5＝1通りになります。
よって、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方は、
45+20+10+0+1=76通りになります。
受け取り方の総数は5！＝120通りなので、1回目の交換で交換会が終了する確率は、
(120-76)/120
=44/120
=11/30になります。
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