大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問40 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問1)
問題文
以下（ ア ），（ イウ ）に当てはまるものを選べ。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問40（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ア ），（ イウ ）に当てはまるものを選べ。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
- ア：1 イウ：39
- ア：2 イウ：33
- ア：1 イウ：33
- ア：2 イウ：39
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この過去問の解説 （2件）
01
a÷b = c あまり d のとき
a = b×c+d
これを利用します。
54 = 625 , 24 = 16 です。
これを用いてわり算をすると
625÷16 = 39 あまり 1
この式を変形すると
625 = 16×39+1
625×1−16×39 = 1
54×1−24×39 = 1
よって、xが正の整数で最小になるのは
x = 1 , y = 39 です。
正解です。
誤りです。
誤りです。
誤りです。
わり算の式をかけ算の式で表し、さらに変形ができるかがポイントです。
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02
整数の性質に関する問題です。
大きな数字を扱うことが多いので公式を理解しづらいですが、
小さい数字を代入して考えることで、イメージを具体化することができます。
54x－24y＝1
625x－16y＝1
(16×39＋1）x－16y＝1
(16×39）x＋x－16y＝1
16（39x-y)+x=1
xが正の整数で最小、すなわちx=1の時を考えると、
16(39-y)=0
39-y=0
y=39
すなわち、x=1、y=39が答えになります。
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