大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問42 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問3)
問題文
以下（ カキク ）に当てはまるものを選べ。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問42（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ カキク ）に当てはまるものを選べ。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
- 634
- 644
- 654
- 664
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この過去問の解説 （2件）
01
a÷b = c あまり d のとき
a = b×c+d
これを利用します。
54 = 625 , 24 = 16 です。
これを用いてわり算をすると
625÷16 = 39 あまり 1
この式を変形すると
625 = 16×39+1
625×1−16×39 = 1
54×1−24×39 = 1 … A
①からAの式を引くと
(54x−24y)−(54×1−24×39) = 0
54(x−1)−24(y−39) = 0
54(x−1) = 24(y−39)
x−1 / 24 = y−39 / 54
ここで、整数kを用いて
x−1 / 24 = y−39 / 54 = k とおくと
x−1 = 24k , y−39 = 54k
したがって
x = 24k+1 , y = 54k+39 です。
ここに k = 1 を代入すると
x = 17 , y = 664
よって、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x = 17 , y = 664 です。
誤りです。
誤りです。
誤りです。
正解です。
頻出である1次不定方程式の問題です。
kをおいて解を求められるかがポイントです。
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02
整数の性質に関する問題です。
大きな数字を扱うことが多いので公式を理解しづらいですが、
小さい数字を代入して考えることで、イメージを具体化することができます。
前問より、
54x－24y＝1から54・1－24・39＝1を引くと、
54（x-1)－24(y-39)＝0
54（x-1)=24(y-39)
54と24は互いに素であるから、任意の自然数nを用いて、
x-1＝24nと表せます。
n=1のとき、x-1＝24＝16、すなわちx=17である。このとき、与えられた数式をyについて解くと、
54（17-1)=24(y-39)
54×16=24(y-39)
54=(y-39)
625＝y-39
y=664
すなわち、求める答えはx=17、y=664となります。
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