大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問43 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4)
問題文
以下（ ケ ），（ コ ）に当てはまるものを選べ。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（2）次に、6252を55で割ったときの余りと、25で割ったときの余りについて考えてみよう。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（2）次に、6252を55で割ったときの余りと、25で割ったときの余りについて考えてみよう。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問43（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケ ），（ コ ）に当てはまるものを選べ。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（2）次に、6252を55で割ったときの余りと、25で割ったときの余りについて考えてみよう。
（1）54＝625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
54x－24y＝1・・・・・①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x＝（ ア ），y＝（ イウ ）
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x＝（ エオ ），y＝（ カキク ）
である。
（2）次に、6252を55で割ったときの余りと、25で割ったときの余りについて考えてみよう。
- ケ：5 コ：5
- ケ：6 コ：4
- ケ：7 コ：4
- ケ：8 コ：5
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この過去問の解説 （2件）
01
前問までの内容を簡潔にまとめると、
625を16で割ると余り1なので、
625=16×39+1と書けます。
ここでm=39とすると、
6252=(54)2=58より、（ケ）は8
6252=(16m+1)2=256m2+32m+1
256=28
32=25なので
6252=28・m2+25・m+1
よって（コ）は5になります。
正解です。
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02
整数の性質に関する問題です。
大きな数字を扱うことが多いので公式を理解しづらいですが、
小さい数字を代入して考えることで、イメージを具体化することができます。
6252
=(54)2
58
よって、ケ＝8になります。
また、m=39とすると、m2=1521となります。
6252
=390625
=28×1521＋1249
=28×m2＋32×39
=28×m2＋25×m、
すなわち
コ＝5となります。
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