大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問44 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5)

前問までを簡潔にまとめます。

625=5⁴なので625²=5⁸です。

よって625²は5⁵で割り切れます。

また、前問（①）で最小解がx=1、y=39でしたから、625=16×39+1と書けます。

これより、
625²=(16×39+1)²なので、2⁵で割ると余りが1になります。

この性質を使って（3）の式5⁵x−2⁵y=1を考えると、

左辺の2⁵yは必ず2⁵の倍数なので、
5⁵xを2⁵で割った余りが1でないといけません。

ここで5⁵=3125、2⁵=32なので、

条件は3125xを32で割ると余り1です。

3125を32で割ると、3125=32×97+21なので、3125≡21（mod32）です。
よって必要条件は21x≡1（mod32）になります。

整数の性質に関する問題です。

大きな数字を扱うことが多いので公式を理解しづらいですが、

小さい数字を代入して考えることで、イメージを具体化することができます。