大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問51 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4)
問題文
以下（ ケ ）に当てはまるものを選べ。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問51（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケ ）に当てはまるものを選べ。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
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この過去問の解説 （3件）
01
前問までをまとめて式変形をします。
BP/AP + CQ/AQ = 2×（BF+CF)/EF ・・・①
ここで、BF+CFについて、
Eは辺BCの中点ですから、
BC=2×BE
よって、CF=FB+2×BEとかけます。
BF+CF=2×（FB+BE)
=2×FEです。
これを①に代入して、
BP/AP + CQ/AQ =2×2×FE/FE
=4
これは点Fの位置のよらず常に成り立ちます。
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02
図形の性質の問題です。
公式自体は難しくないので、慣れないうちはきちんと図形を書いて、
視覚的に間違いがないか確かめるようにしましょう。
前問より、
BP／AP＋CQ／AQ
＝2×BE/EF+2×CF/EF
＝2（BE/EF+CF/EF）
＝2（BE＋CF)/EF
ここで、点Eは辺BCの中点なので、BE＋CF＝2EF
よって、
BP／AP＋CQ／AQ
＝2（2EF)/EF
＝4となります。
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03
解説は以下のようになります。
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