共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問50 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問3)

図形の性質の問題です。

公式自体は難しくないので、慣れないうちはきちんと図形を書いて、

視覚的に間違いがないか確かめるようにしましょう。

前問までで、点Dは線分AGの中点であり、

AD／DE＝1／2

と分かっています。

また、前問では三角形ABEに注目して、

BP／AP＝2×BF／EF

を求めました。

重心Gは、線分AEを AG：GE＝2：1 に分けます。
つまり、AE全体を3等分して考えると、

AG＝2AE／3
GE＝AE／3

です。

点DはAGの中点なので、

AD＝AG／2

です。
ここに AG＝2AE／3 を代入すると、

AD＝（2AE／3）／2
AD＝AE／3

となります。

 

したがって、

DE＝AE−AD
DE＝AE−AE／3
DE＝2AE／3

です。

よって、

AD／DE＝（AE／3）／（2AE／3）
＝1／2

です。

点Pは辺AB上、点Dは辺AE上、点Fは直線BE上にあり、P、D、Fは一直線上にあります。

このとき、

AD／DE×EF／BF×BP／AP＝1

という関係が成り立ちます。

前問までで、

AD／DE＝1／2

と分かっているので、

1／2×EF／BF×BP／AP＝1

となります。

これをBP／APについて解くと、

BP／AP＝2×BF／EF

です。

基本的な図形の問題で、メネラウスの定理を利用します。

分数式を扱うことになりますので、

分母、分子に注意しながら式変形していきましょう。