大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問49 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問2)
問題文
以下（ ウ ），（ エ／オ ）に当てはまるものを選べ。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問49（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ウ ），（ エ／オ ）に当てはまるものを選べ。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
- ウ：2 エ／オ：BF／EF
- ウ：2 エ／オ：BC／FP
- ウ：3 エ／オ：FQ／CF
- ウ：3 エ／オ：PQ／EF
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この過去問の解説 （2件）
01
基本的な図形問題です。
今回問われているのはメネラウスの定理ですが、
類似のチェバの定理も復習しておきましょう。
三角形ABEと三角形DFEが重なった形と見ることができ、
メネラウスの定理を使うことができます。
以下の図も参考にしてみてください。
メネラウスの定理より、
ED/DA × AP/PB × FB/FE =1
ED/DA=2を代入すると、
2× AP/PB × FB/FE =1
式変形して、
BP/AP = 2×BF/FE
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02
図形の性質の問題です。
公式自体は難しくないので、慣れないうちはきちんと図形を書いて、
視覚的に間違いがないか確かめるようにしましょう。
△ABEについて、メネラウスの定理を考えると、
BP/PA×AD/DE×EF/FB=1
BP/PA×1/2×EF/FB=1
BP/PA=2×BF/EFとなります。
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