大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問48 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1)
問題文
以下（ ア／イ ）に当てはまるものを選べ。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問48（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ア／イ ）に当てはまるものを選べ。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
（1）点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
AD／DE＝（ ア／イ ）
である。また、点Fの位置に関係なく
BP／AP＝（ ウ ）✕（ エ／オ ），CQ／AQ＝（ カ ）✕（ キ／ク ）
であるので、つねに
BP／AP＋CQ／AQ＝（ ケ ）
となる。
- 1／1
- 1／2
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この過去問の解説 （2件）
01
基本的な図形問題です。
三角形の五心のうち、重心の性質について問われています。
重心の基本的な性質についてもう一度押さえておきましょう。
重心は中線を2：１に内分する点である
※中線とは各頂点と向かい合う辺の中点を結んだ点のことです。
点Gは重心ですので、辺AEを2:1に内分します。
AG：GE＝2：1 ・・・①が成り立ちます。
また、点DはAGの中点ですので、
AD：DG＝1：1 ・・・②です。
以上、①と②をまとめると、
AD：DG：GE＝1：1：1となります。
つまり、辺AEを３等分する点がDとGということです。
したがって、AD:DE=1:2となり、
AD/DE=1/2となります。
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02
図形の性質の問題です。
公式自体は難しくないので、慣れないうちはきちんと図形を書いて、
視覚的に間違いがないか確かめるようにしましょう。
点Dは線分AGの中点であるとすると、
AD=1/2AG
=1/2×2/3AE
=1/3AE
よって、
AD/DE=1/3×AE/DE
=1/3×3/2
=1/2となります。
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