大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問61 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問5)

以下（　カ　）に当てはまるものを選べ。

〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x²＋y²－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。

（1）領域Dは、中心が点（　ア，イ　）、半径が（　ウ　）の円の（　エ　）である。

以下、点（　ア，イ　）をQとし、方程式

x²＋y²－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。

（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

（ⅰ）（1）により、直線y＝（　オ　）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。

太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。

太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x²＋y²－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

（ⅱ）太郎さんの求め方について考えてみよう。
y＝k（x＋8）をx²＋y²－4x－10y＋4＝0に代入すると、xについての2次方程式
（k²＋1）x²＋（16k²－10k－4）x＋64k²－80k＋4＝0
が得られる。この方程式が（　カ　）ときのkの値が接線の傾きとなる。