大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問60 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4)
問題文
以下（ オ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問60（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ オ ）に当てはまるものを選べ。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
〔1〕座標平面上に点A（－8，0）をとる。また、不等式
x2＋y2－4x－10y＋4≦0
の表す領域をDとする。
（1）領域Dは、中心が点（ ア，イ ）、半径が（ ウ ）の円の（ エ ）である。
以下、点（ ア，イ ）をQとし、方程式
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
の表す図形をCとする。
（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（ⅰ）（1）により、直線y＝（ オ ）は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
太郎：直線lの方程式はy＝k（x＋8）と表すことができるから、
これを
x2＋y2－4x－10y＋4＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
- 0
- 1
- 2
- 3
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
前問までに、
x2＋y2−4x−10y＋4≦0
を平方完成して
(x−2)2+(y−5)2≦25
となることを確認しました。
よって、円Cは中心がQ(2,5)、半径が5の円で、領域Dはその周および内部です。
また点Aは(−8,0)です。
正解です。
直線y=0は点A(−8,0)を通る水平な直線です。
これが円Cの接線かどうかは、円の式に代入して「交点が1つ（重解）」になるかで確かめられます。
円Cの式は
(x−2)2+(y−5)2=25
なので、y=0を代入すると
(x−2)2+(−5)2=25
(x−2)2+25=25
(x−2)2=0
となり、x=2の1点だけで交わります。
交点が1つなので、y=0は接線です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
図を書きながら、落ち着いて考えれば必ず解ける問題です。
焦らずしっかりと得点しましょう。
図を書いてみると、円Cは
y=0、y=10に接することがわかります。
このうち、点A(-8,0)を通るのは、
もちろんy=0です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
図形と方程式の問題です。
慣れないうちは自分で座標と数式を書いてみましょう。
前問より、Cは中心が点(2,5)、半径が5の円なので、
y＝0で点AとCを通る接線の一つになります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問59）へ
令和4年度（2022年度）本試験 問題一覧
次の問題（問61）へ