大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問81 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問9)
問題文
（ セ ），（ ソ ）に当てはまるものを選べ。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問81（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問9） （訂正依頼・報告はこちら）
（ セ ），（ ソ ）に当てはまるものを選べ。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
- セ：｛2h（x）−2g（x）｝ ソ：2g（x）
- セ：｛h（x）−g（x）｝ ソ：｛g（x）−h（x）｝
- セ：｛h（x）−g（x）｝ ソ：2h（x）
- セ：｛2g（x）＋2h（x）｝ ソ：｛2g（x）−2h（x）｝
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この過去問の解説 （2件）
01
h(x)とg(x)の2つのグラフの概形とα,β,tの位置関係を把握します。（図を参考に）
α,βに関しては、前問で解いた通りです。解き方は以下に示します。
積分範囲での2つのグラフの上下の位置を調べます。
g(x)-h(x)=x2-3bx+2b2=(x-b)(x-2b)となり、
面積Sのα≦x≦β（α=b, β=2b）の範囲では、
g(x)-h(x)≦0となるため、h(x)≧g(x)であることがわかります。
また、面積Tのβ≦x≦t（β=2b）の範囲では、
g(x)-h(x)≧0となるため、g(x)≧h(x) であることがわかります。
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02
まず交点を確認します。
h(x)−g(x) を計算すると
h(x)−g(x)=(-x2+3bx-2b2)=-(x-b)(x-2b)
なので、交点のx座標は x=b,2b です。
よって α=b、β=2b になります。
次に上下関係です。
b＜x＜2bでは (x-b)は正、(x-2b)は負なので、-(x-b)(x-2b)は正です。
つまりh(x)＞g(x)です。
よって
S=∫(h(x)−g(x))dx になります。
x＞2bでは (x-b),(x-2b)がともに正なので、-(x-b)(x-2b)は負です。
つまりg(x)＞h(x)です。
よって
T=∫(g(x)−h(x))dx になります。
正解です。
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