大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問82 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問10)
問題文
（ タ ）に当てはまるものを選べ。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問82（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
（ タ ）に当てはまるものを選べ。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
- ｛g（x）＋h（x）｝
- ｛g（x）−h（x）｝
- ｛h（x）−g（x）｝
- ｛2g（x）＋2h（x）｝
- ｛2g（x）−2h（x）｝
- ｛2h（x）−2g（x）｝
- 2g（x）
- 2h（x）
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この過去問の解説 （2件）
01
前問では、2つのグラフの概形や位置関係などについて説明し、面積Sと面積Tを求めました。
この問いでは、S-Tを求めます。
※上記の式の3、4行目のように、{ }の中の関数を｛h(x)-g(x)｝と揃えることで、積分の範囲をα→βとβ→tをα→tとひとまとめにすることができます。
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02
前問では次を確認しました。
問題文の形から、S−Tを1つの積分で表すと
S−T
= ∫[α→β]{h(x)−g(x)}dx − ∫[β→t]{g(x)−h(x)}dx
ここで、2つ目の中身は
g(x)−h(x)=−(h(x)−g(x))
なので
S−T
= ∫[α→β]{h(x)−g(x)}dx + ∫[β→t]{h(x)−g(x)}dx
= ∫[α→t]{h(x)−g(x)}dx
となります。
つまり、S−T=∫[α→t]{タ}dxの形にまとめるときの（タ）は、{h(x)−g(x)}です。
正解です。
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