大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問83 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問11)
問題文
（ チツ／テ ），（ ト ），（ ナニ ），（ ヌ ）に当てはまるものを選べ。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問83（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問11） （訂正依頼・報告はこちら）
（ チツ／テ ），（ ト ），（ ナニ ），（ ヌ ）に当てはまるものを選べ。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
〔2〕b＞0とし、g（x）＝x3－3bx＋3b2，h（x）＝x3－x2＋b2とおく。座標平面上の曲線y＝g（x）をC1，曲線y＝h（x）をC2とする。
C1とC2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると、α＝（ サ ），β＝（ シス ）である。
α≦x≦βの範囲でC1とC2で囲まれた図形の面積をSとする。また、t＞βとし、β≦x≦tの範囲でC1とC2および直線x＝tで囲まれた図形の面積をTとする。
- チツ／テ：−1／3 ト：8 ナニ：10 ヌ：3
- チツ／テ：−1／3 ト：9 ナニ：11 ヌ：3
- チツ／テ：−1／6 ト：9 ナニ：12 ヌ：5
- チツ／テ：−1／6 ト：8 ナニ：12 ヌ：5
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この過去問の解説 （2件）
01
ここでは実際に、S-Tを計算してみます。前問で、α＝b，β＝2bであることはわかっています。
上記の計算より、 チツテ -1/6 ト 9 ナニ 12 ヌ 5
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02
前問までで、次を確認しています。
まず中身を整理します。
h(x)−g(x)
=(x3−x2+b2)−(x3−3bx+3b2)
=−x2+3bx−2b2
積分すると、
∫(−x2)dx=−(1/3)x3
∫(3bx)dx=(3b/2)x2
∫(−2b2)dx=−2b2x
なので
S−T=[−(1/3)x3+(3b/2)x2−2b2x]（b→t）
計算すると
S−T=−(1/3)t3+(3b/2)t2−2b2t+5/6 b3
これを問題文の形に合わせて整理すると
S−T=(−1／6)(2t3−9bt2+12b2t−5b3)
したがって
チツ／テ=−1／6、ト=9、ナニ=12、ヌ=5です。
正解です。
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