大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問88 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問4)

解答　キ: 0.286

解説

「P(R≧x) = 0.0465」となるxの値を求める問題です。

前問より　アイ:25　カ: √3/80　でした。

問題文の誘導に従い、Rは正規分布 N(0.25, (√3/80)²) に従うと考えます。

R’ = (R-0.25)/(√3/80) とおくと、このR’は標準正規分布 N(0,1) に従います。

z₀ = (x-0.25)/(√3/80) とおくと「R≧x」⇔「R’ ≧z₀」ですから、

まずは「P(R’≧z₀) = 0.0465」となるz₀の値を求めることになります。

これは上位4.65％に相当するR’の値はいくら以上なのかを問われています。

ここで正規分布表を利用します。標準正規分布の右半分の面積は0.5ですから、

与えられた正規分布表に添えられた図の灰色部分の面積が

0.5 - 0.0465 = 0.4535

になるようなz₀を読み取ることになり、それは z₀ = 1.68 です。

P(R’ ≧1.68) = 0.0465 となります。

最後に「P(R’ ≧1.68) = 0.0465」⇔「P(R≧x) = 0.0465」となるxを求めます。

R’ ≧1.68

(R-0.25)/(√3/80) ≧1.68

R ≧1.68 × (√3/80) + 0.25

R ≧ 0.286　(√3 = 1.73で計算して0.28633、結果を四捨五入)

したがって　P(R≧0.286) = 0.0465　つまり答えは　x=0.286　となります。

補足

以下はア・イ・カの解説です(前問より引用)。

アイの解説

例えば「確率pで当たるくじをn回引いたときに当たる回数」のような確率変数を

Zとしたとき、Zが従う確率分布を二項分布といい、B(n, p)と表します。

当たるか外れるかの二択という意味で“二項”です。

 

この問題では200 gを超えるジャガイモを当たりくじとみなして、

問題文からn=400, p=0.25と読み取れます。

よって二項分布 B(400, 0.25) が答えとなります。

 

カの解説

「Zの分散→Rの分散→Rの標準偏差」の順に考えていきましょう。

 

まず二項分布 B(n, p)に従う確率変数Zの分散は V(Z) = np(1-p) で求められます。

前問より、今考えている二項分布はB(400, 0.25)つまりn=400, p=0.25 ですから、

V(Z)=np(1-p)= 400×0.25×(1-0.25) = 75 となります。

 

確率変数aZ+bの分散はV(aZ+b) = a²V(Z)という性質があります。

よってRの分散は V(R) = V(Z/400) = V(Z)/400² = 75/400²

です。

 

したがってRの標準偏差は

σ(R) = √V(R) = √(75/400²) = (5√3)/400 = √3/80

と求まり、答えは　√3/80　となります。

二項分布はB(n,p)と表されるので

B(400,0.25)

となります。

平均値はnpより

400×0.25=100

となります。

確率変数Ｚに従う比率R=Z／400の標準偏差は、

二項分布Ｂの標準偏差より

σ（R）

=√（400×0.25×(1-0.25)）/400

=√(75)/400

=√3/80

となります。

題意よりp=0.0465は下図の範囲になります。

このときのZ₀は、0.5-0.0465=0.04535になるような値なので三角表より

Z₀=1.68

また題意よりRは近似的に正規分布N(0.25,3/6400)に従うので標準化すると

R₀

=(R-1/4)/(√3/80)

=(80R-20)/√3

これが1.68になればいいので

1.68=(80R-20)/√3

になるRを計算すると

R=0.28633

となります。