大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問87 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問3)

解答　カ: √3/80

解説

「Zの分散→Rの分散→Rの標準偏差」の順に考えていきましょう。

まず二項分布 B(n, p) に従う確率変数Zの分散は V(Z) = np(1-p) で求められます。

前問より、今考えている二項分布は B(400, 0.25) つまり n=400, p=0.25 ですから、

V(Z) = np(1-p) = 400×0.25×(1 - 0.25) = 75 となります。

確率変数aZ+bの分散はV(aZ+b) = a²V(Z)という性質があります。

よってRの分散は V(R) = V(Z/400) = V(Z)/400² = 75/400²

です。

したがってRの標準偏差は

σ(R) = √V(R) = √(75/400²) = (5√3)/400 = √3/80 

と求まり、答えは　√3/80　となります。

補足

以下はアイの解説です(前問の解説から引用)。

例えば「確率pで当たるくじをn回引いたときに当たる回数」のような確率変数を

Zとしたとき、Zが従う確率分布を二項分布といい、B(n, p)と表します。

当たるか外れるかの二択という意味で“二項”です。

 

この問題では200gを超えるジャガイモを当たりくじとみなして、

問題文からn=400, p=0.25と読み取れます。

よって二項分布 B(400, 0.25) が答えとなります。

二項分布はB(n,p)と表されるので

B(400,0.25)

となります。

平均値はnpより

400×0.25=100

となります。

確率変数Ｚに従う比率R=Z／400の標準偏差は、

二項分布Ｂの標準偏差より

σ（R）

=√（400×0.25×(1-0.25)）/400

=√(75)/400

=√3/80

となります。