大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問101 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8)
問題文
以下（ ケ ）に当てはまるものを選べ。
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
x＝anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y＝bnをそのときの歩行者の位置とする。
（1）花子さんと太郎さんは、数列｛an｝，｛bn｝の一般項を求めるために、歩行者と自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の点（x，y）で表すことにした。
a1＝2，b1＝2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（2，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は（2，2）である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は（［ ア ］，［ ア ］）である。よって
a2＝（ イ ），b2＝（ ウ ）
である。
花子：数列an｝，｛bn｝の一般項について考える前に、（［ ア ］，［ ア ］）の求め方について整理してみようか。
太郎：花子さんはどうやって求めたの？
花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくことを利用したよ。
太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（an，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
（an，bn）である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追い
つくときの時刻と位置を表す点の座標は、an，bnを用いて、（［ エ ］，［ オ ］）と表せる。
以上から、数列｛an｝，｛bn｝について、自然数nに対して、関係式
an＋1＝an＋（ カ ）bn＋（ キ ）・・・・・①
bn＋1＝3bn＋（ ク ）・・・・・②
が成り立つことがわかる。まず、b1＝2と②から
bn＝（ ケ ）（n＝1，2，3，…）
を得る。この結果と、a1＝2および①から
an＝（ コ ）（n＝1，2，3，…）
がわかる。
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
x＝anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y＝bnをそのときの歩行者の位置とする。
（1）花子さんと太郎さんは、数列｛an｝，｛bn｝の一般項を求めるために、歩行者と自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の点（x，y）で表すことにした。
a1＝2，b1＝2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（2，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は（2，2）である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は（［ ア ］，［ ア ］）である。よって
a2＝（ イ ），b2＝（ ウ ）
である。
花子：数列an｝，｛bn｝の一般項について考える前に、（［ ア ］，［ ア ］）の求め方について整理してみようか。
太郎：花子さんはどうやって求めたの？
花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくことを利用したよ。
太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（an，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
（an，bn）である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追い
つくときの時刻と位置を表す点の座標は、an，bnを用いて、（［ エ ］，［ オ ］）と表せる。
以上から、数列｛an｝，｛bn｝について、自然数nに対して、関係式
an＋1＝an＋（ カ ）bn＋（ キ ）・・・・・①
bn＋1＝3bn＋（ ク ）・・・・・②
が成り立つことがわかる。まず、b1＝2と②から
bn＝（ ケ ）（n＝1，2，3，…）
を得る。この結果と、a1＝2および①から
an＝（ コ ）（n＝1，2，3，…）
がわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問101（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケ ）に当てはまるものを選べ。
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
x＝anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y＝bnをそのときの歩行者の位置とする。
（1）花子さんと太郎さんは、数列｛an｝，｛bn｝の一般項を求めるために、歩行者と自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の点（x，y）で表すことにした。
a1＝2，b1＝2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（2，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は（2，2）である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は（［ ア ］，［ ア ］）である。よって
a2＝（ イ ），b2＝（ ウ ）
である。
花子：数列an｝，｛bn｝の一般項について考える前に、（［ ア ］，［ ア ］）の求め方について整理してみようか。
太郎：花子さんはどうやって求めたの？
花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくことを利用したよ。
太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（an，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
（an，bn）である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追い
つくときの時刻と位置を表す点の座標は、an，bnを用いて、（［ エ ］，［ オ ］）と表せる。
以上から、数列｛an｝，｛bn｝について、自然数nに対して、関係式
an＋1＝an＋（ カ ）bn＋（ キ ）・・・・・①
bn＋1＝3bn＋（ ク ）・・・・・②
が成り立つことがわかる。まず、b1＝2と②から
bn＝（ ケ ）（n＝1，2，3，…）
を得る。この結果と、a1＝2および①から
an＝（ コ ）（n＝1，2，3，…）
がわかる。
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
x＝anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y＝bnをそのときの歩行者の位置とする。
（1）花子さんと太郎さんは、数列｛an｝，｛bn｝の一般項を求めるために、歩行者と自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の点（x，y）で表すことにした。
a1＝2，b1＝2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（2，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は（2，2）である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は（［ ア ］，［ ア ］）である。よって
a2＝（ イ ），b2＝（ ウ ）
である。
花子：数列an｝，｛bn｝の一般項について考える前に、（［ ア ］，［ ア ］）の求め方について整理してみようか。
太郎：花子さんはどうやって求めたの？
花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくことを利用したよ。
太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は（an，0）であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
（an，bn）である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追い
つくときの時刻と位置を表す点の座標は、an，bnを用いて、（［ エ ］，［ オ ］）と表せる。
以上から、数列｛an｝，｛bn｝について、自然数nに対して、関係式
an＋1＝an＋（ カ ）bn＋（ キ ）・・・・・①
bn＋1＝3bn＋（ ク ）・・・・・②
が成り立つことがわかる。まず、b1＝2と②から
bn＝（ ケ ）（n＝1，2，3，…）
を得る。この結果と、a1＝2および①から
an＝（ コ ）（n＝1，2，3，…）
がわかる。
- 3n－1＋1
- 1／2・3n＋1／2
- 3n－1＋n
- 1／2・3n＋n−1／2
- 3n－1＋n2
- 1／2・3n＋n2−1／2
- 2・3n－1
- 5／2・3n−1−1／2
- 2・3n－1＋n−1
- 5／2・3n－1＋n−3／2
- 2・3n－1＋n2−1
- 5／2・3n－1＋n2−3／2
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この過去問の解説 （2件）
01
解答 ケ: (5／2)・3n－1－(1／2)
解説
前問で ク: 1 を求めました。
b1=2の条件下で、漸化式 bn+1=3bn+1 …② を解きます。
まず bn+1=3bn+1 の bn+1 と bn をともにαに差し替えた1次方程式を
作ります(特性方程式と言います)。
α=3α+1 …(※)
であり、これを解くと α=-1/2 です。
②から(※)を引きます。
bn+1=3bn+1 …②
α=3α+1 …(※)
bn+1 - α = 3bn - 3α
bn+1 - α = 3(bn - α) (つまりbn - αは公比3の等比数列)
よって bn -α = (b1-α)・3n-1 であり、b1=2、α=-1/2 と合わせて
bn = (5／2)・3n－1－(1／2)
となり、これがケの答えとなります。
この選択肢が答えとなります。
特性方程式に関する注意:
「α=3α+1」は漸化式を解くために突然連れてきた飛び道具であって、
「α=3α+1」と「bn+1=3bn+1」の関係はあくまで他人の空似です。
「bn+1=α かつ bn=α」という意味ではありませんので注意しましょう。
参考になった数0
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02
等比数列型の漸化式です。
bn+1 -α= r (bn -α)と表すことができれば、
bn -αは、初項が(b1 -α)、公比がrの
等比数列と見なすことができます。
bn+1=3bn+1について解いていきます。
特性方程式x=3x+1の解
x=-1/2を用いて、
bn+1-x=3(bn-x)と表すことができます。
bn+1+1/2=3(bn+1/2)
b1+1/2=5/2ですから、
bn+1/2は初項5/2、公比3の等比数列です。
従って、一般項は
bn+1/2=5/2・3n-1
bn=5/2・3n-1-1/2と表すことができます。
参考になった数0
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