大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問103 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問10)

この選択肢が答えとなります。

b_n=2/5・3^n-1-1/2を用いることとします。

a_n+1=a_n+2b_n+2

b_n+1=3b_n+1が成り立ちます。

 

b_nについて、

b_n+1=3b_n+1

b_n+1+1/2=3(b_n+1/2)

b₁+1/2=5/2ですから、

b_n+1/2は初項5/2、公比3の等比数列です。

従って、一般項は

b_n=5/2・3^n-1-1/2と表すことができます。

b_n＞300となるような最小のnを求めます。

5/2・3^n-1の部分について、

3^n-1に、1,3,9,27,81,243と代入すると、

n=5のとき、5/2・81-1/2=202<300

n=6のとき、5/2・243-1/2=607>300

よって、歩行者がy＝300の位置に到着するときまでに

n=5　つまり、自転車は5回家を出ています。

ここで、5回目歩行者に会う前なのか、会った後なのかを

確かめる必要があります。

かなり前の問題ですが、2人が会う位置は

2b_nとかけるのでした。

時刻a_nの時点で、歩行者は位置b_n

自転車は位置0のところにいます。

2人の間隔は1分間に1ずつ縮まっていきます。

2人が会うまでには

b_nだけ時間が追加でかかるので、

この時の時間はa_n+b_nとなります。

歩行者はb_nの時間の間に、b_nだけ進みます。

自転車が進む時刻に歩行者はb_nの位置にいて、

その後b_nだけ進むので、

２人が出会う時の位置は

b_n+b_n=2b_nとなります。

今回、300<2・202=404ですから、

まだ5回目は会っていないとわかります。

従って歩行者と会った回数は4回です。